Speciális unitér csoport

A speciális unitér csoport, jelölés szerint ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ a matematikában az olyan unitér ${\displaystyle n\times n}$ mátrixok csoportja, melyek determinánsa egy. A csoport asszociatív csoportművelete a mátrixszorzás, és mivel a speciális unitér csoport egy sima sokaság, amelyben a mátrixszorzás tetszőlegesen sokszor differenciálható, ezért egy Lie-csoport.

Az unitér mátrixok determinánsának abszolút értéke egy, ezt a tulajdonságot szűkíti tovább a speciális unitér csoport. Továbbá, a speciális unitér csoport normálosztója az unitér csoportnak (${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$), mely az ${\displaystyle n\times n}$ unitér mátrixok csoportja, mely részcsoportja az általános lineáris csoportnak. Formálisabb jelölés szerint ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$.

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ csoportok legegyszerűbb esete az ${\displaystyle \operatorname {SU} (1)}$, mely egy triviális csoport, tehát egyetlen eleme van, az egységelem, ami ebben az esetben ${\displaystyle 1}$. Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ izomorf azon kvaterniók csoportjához, melyeknek normája egy, ezáltal diffeomorf a 3-gömbhöz. Mivel a gömbhéjon elhelyezkedő kvaterniókkal leírhatóak forgatások a háromdimenziós térben (egy előjelig bezárólag), létezik egy szürjektív homomorfizmus ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ és a speciális ortogonális forgatáscsoport ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ között, melynek magja az ${\displaystyle \{I,-I\}}$ halmaz, ahol ${\displaystyle I}$ az egységmátrixot jelöli. Mivel a kvaterniók identifikálhatóak a ${\displaystyle \operatorname {Cl} (3)}$ Clifford-algebra páros részével, így az ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ megegyeztethető a spinorok egyik szimmetriacsoportjával, a ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)}$ spincsoporttal.

Az speciális unitér csoportok rendkívül hasznosak a részecskefizika standard modelljében, főleg ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ az elektrogyenge kölcsönhatás leírásában, az ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ pedig a kvantum-színdinamikában.^[1]

A speciális unitér csoport egy szigorúan valós Lie-csoport, melynek dimenziója egy valós sokaságként ${\displaystyle n^{2}-1}$. Topológiai tulajdonságai közé tartozik, hogy kompakt és egyszeresen összefüggő.^[2] Algebrailag besorolható az egyszerű Lie-csoportok közé,^[3] tehát a csoport Lie-algebrája is egyszerű.^[4]

A speciális unitér csoport centruma izomorf a ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ciklikus csoporthoz, mely olyan diagonális mátrixokat tartalmaz, melynek minden eleme az ${\displaystyle n}$-edik komplex gyöke az 1-nek. Abban az esetben, amikor ${\displaystyle n\geq 3}$, az ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ a csoport külső automorfizmuscsoportja, míg az ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ külső automorfizmuscsoportja a triviális csoport.

Az ${\displaystyle (n-1)}$ ranggal rendelkező maximális tóruszok megadhatóak olyan diagonális mátrixok halmazaként, melynek determinánsa egy. Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ Weyl-csoportja a szimmetrikus csoport ${\displaystyle \operatorname {S} _{n}}$.

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ Lie-algebrája, jelölés szerint ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$, az olyan antihermitikus komplex mátrixok halmaza, melyek nyoma nulla.^[5] A Lie-algebra Lie-zárójele a mátrixok kommutátora. A részecskefizikában gyakran használnak egy alternatív definíciót, mely szerint a csoport Lie-algebrája a nulla-nyommal rendelkező hermitikus mátrixok halmaza, ellátva egy olyan Lie-zárójellel, ami a kommutátor megszorozva ${\displaystyle -i}$-vel. Az ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ algebra dimenziója szintúgy ${\displaystyle n^{2}-1}$.

Az ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ komplexifikációja az ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$, mely az ${\displaystyle n\times n}$-es nyommentes komplex mátrixok algebrája.^[6] Ennek Cartan-részalgebrái tehát nyommentes diagonális mátrixokat tartalmaznak,^[7] melyek bármelyike megegyeztethető egy olyan vektorral ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$-ben, amelyek komponenseinek összege nulla. A gyökrendszerében ezáltal a ${\displaystyle (1;-1;0;\dots ;0)}$ számok ${\displaystyle n(n-1)}$ lehetséges permutációja található meg. Az egyszerű gyököket választhatjuk következőféleképpen:

${\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}$

Következtetésképpen, az ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ csoport rangja ${\displaystyle n-1}$, Dynkin-diagrammja pedig ${\displaystyle A_{n-1}}$, melyet grafikusan egy ${\displaystyle n-1}$ taggal rendelkező lánccal jelölünk.^[8] Az ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ Lie-algebra Cartan-mátrixa a következő:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}$

Az ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ Weyl-csoportja (vagy Coxeter-csoportja) az ${\displaystyle \operatorname {S} _{n}}$ szimmetrikus csoport, amely az ${\displaystyle (n-1)}$-szimplex szimmetriacsoportja.

Mivel az ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ egy egyszeresen összefüggő Lie-csoport, bármelyik ábrázolása (vagy reprezentációja) levezethető a csoporthoz tartozó ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ Lie-algebra (vagy pedig annak komplexifikációjának^[6]) ábrázolásaiból.^[9] Mivel a csoport kompakt, így a Peter–Weyl-tétel kimondja, hogy az ábrázolásai felbonthatóak irreducibilis ábrázolások direkt összegeként. Továbbá, az ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ csoport nem kommutatív, így léteznek olyan irreducibilis ábrázolásai, melyeknek egynél nagyobb a dimenziója.

Egy adott Lie-csoport fundamentális ábrázolása a legkisebb dimenziós nemtriviális irreducibilis ábrázolása. Az ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ algebra esetén ez az az ábrázolás, amely megmutatja, hogy az algebra hogyan hat a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ testre. Fizikában használt konvenció szerint az algebra generátorainak választhatjuk azokat a ${\displaystyle T_{a}}$ nyommentes hermitikus ${\displaystyle n\times n}$-mátrixokat, melyekre teljesül

${\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}$

ahol ${\displaystyle \delta _{ab}}$ a Kronecker-deltát, ${\displaystyle f}$ pedig a szerkezeti tényezőket jelöli, melyek minden indexükben antiszimmetrikusak, míg a ${\displaystyle d}$-vel jelölt állandók minden indexükben szimmetrikusak.

Következésképpen, a generátorok kommutátora a következő:

${\displaystyle ~\left~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}$

a megfelelő antikommutátor pedig:

${\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}$

A kommutátor a fizikusok által használt konvenció szerint úgy teljesíti a Lie-zárójelet definiáló feltételeket, ha tartalmazza az imaginárius egységet, matematikai irodalomban nem található meg, mivel ott a generátorok antihermitikus mátrixok.

Általában a következő normalizáció használatos:

${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}$

A generátorok teljesítik a Jabobi-identitást^[10]:

${\displaystyle ]+]+]=0.}$

A fizikusok által használt konvenció oka az, hogy így egyszerűbben leírhatók a fundamentális részecskék bizonyos tulajdonságai, mivel például ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ esetén generátorként választhatók a Pauli-mátrixok ${\displaystyle 1/2}$-del megszorozva, továbbá az ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ csoportnál a Gell-Mann-mátrixok szintén egy ketteddel megszorozva.^[10] Ezen definíciók szerint a generátorok a következőt teljesítik:

${\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.}$

Egy adott Lie-algebra adjungált ábrázolása az az ábrázolása, melyben az önmagára vetett (Lie-zárójel általi) hatása mutatkozik meg. Ebben az esetben a generátorok olyan ${\displaystyle (n^{2}-1)\times (n^{2}-1)}$-es mátrixok, melyeket a szerkezeti tényezők definiálnak:

${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ olyan ${\displaystyle 2\times 2}$-es unitér mátrixok csoportja, melyek determinánsa egy. Pontosabban kifejezve:

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\right|\ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$

ahol például ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ az ${\displaystyle \alpha }$ komplex konjugáltját jelöli. A csoportművelet a mátrixszorzás.^[11]

Ha a definícióban szereplő ${\displaystyle \alpha }$ és ${\displaystyle \beta }$ komplex számokat felbontjuk valós és imaginárius részeikre, tehát ${\displaystyle \alpha =a+bi,\ \beta =c+di}$, akkor a determinánsra szabott feltétel a következő egyenlet lesz:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$

Ez pontosan az egységsugarú 3-gömb (${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$) egyenlete. Ezt a megfeleltetést lehet egy beágyazásnak is tekinteni: a leképezés

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

ahol ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ a ${\displaystyle 2\times 2}$-es komplex mátrixok halmazát jelöli, egy valós injektív lineáris leképezés. Tehát, ${\displaystyle \varphi }$-nek a ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$-ra vett korlátozása a 3-gömb beágyazása ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ egy kompakt részsokaságába, pontosabban ${\displaystyle \varphi (\mathbb {S} ^{3})=\operatorname {SU} (2)}$.

Ennek következtében, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ diffeomorf ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-vel, mely bizonyítja, hogy ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ egyszeresen összefüggő, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ pedig ellátható egy olyan struktúrával, mely egy kompakt, összefüggő Lie-csoporttá teszi.

Az egységhosszú kvaterniókat röviden egységkvaternióknak hívjuk, és az ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ csoportot generálják. Az általánosan megadott ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ mátrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$

leképezhető a következő formájú kvaternióba:

${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}.}$

Ez a leképezés egy csoportizomorfizmus, a mátrix determinánsa pedig pontosan a kvaternió normája, tehát ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ izomorf az egységkvaterniók csoportjához.^[12]

Minden egységkvaternió megfelel egy háromdimenziós térbeli forgatásnak, az egységkvaterniók szorzata pedig a hozzájuk tartozó forgatások kompozíciójának. Továbbá, bármely háromdimenziós térbeli forgatás pontosan kettő különböző egységkvaternióval írható le. Pontosabban megfogalmazva létezik egy 2:1 szürjektív homomorfizmus ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ és ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ között. Ennek következtében, ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ izomorf az ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)/\{\pm I\}}$ faktorcsoporthoz, ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ az ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ univerzális fedése, továbbá az ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$-at definiáló sokaság létrehozható, ha ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ antipodális pontjait megfeleltetjük egymásnak.

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ csoport Lie-algebrájába azon ${\displaystyle 2\times 2}$-es antihermitikus mátrixok tartoznak, melyek nyoma nulla.^[5] Pontosabban:

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}\right|\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$

Ezt az algebrát a következő három mátrix generálja:

${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$

melyek a következő kommutációs relációkat teljesítik:

${\displaystyle \left=2\ u_{2},\quad \left=2\ u_{3},\quad \left=2\ u_{1}~.}$

Ezek a generátorok szoros összefüggésben állnak a kvantummechanikában alkalmazott Pauli-mátrixokkal: ${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$ és ${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$ Ennek következtében az ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ algebrával leírható a fundamentális részecskék (például elektronok) spinje.

Továbbá, a Lie-algebra ábrázolásainak segítségével levezethetőek az ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ábrázolásai.

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ egy 8-dimenziós valós egyszerű Lie-csoport, mely olyan ${\displaystyle 3\times 3}$-as unitér mátrixokat tartalmaz, melyek determinánsa egy.

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ csoport egyszeresen összefüggő és kompakt.^[13] A csoport topológiai struktúrája megérthető abból a tulajdonságából, hogy tranzitív módon hat az ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}}$ egységgömbre a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$ térben. A gömb bármelyik pontjának stabilizátora izomorf ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-vel, amely topológiailag a 3-gömb. Ebből következik, hogy ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ egy fibrált nyaláb, melynek bázistere ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}}$, fibruma (vagy rostja) pedig ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$. Mivel a fibrum és a bázistér is egyszeresen összefüggő, ebből következik, hogy ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ is egyszeresen összefüggő.^[14]

Homotópiacsoportok hosszú egzakt sorozatát vizsgálva bizonyítható, hogy az ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ csoport egy nemtriviális (csavart) ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-nyaláb ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}}$ bázistér felett.

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ Lie-algebrája ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$, amely a ${\displaystyle 3\times 3}$-as (fizikai konvenció szerint) hermitikus mátrixokat tartalmazza, melyek nyoma nulla. Az algebra generátorai a

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$

mátrixok, ahol ${\displaystyle \lambda _{a}}$ a Gell-Mann-mátrixokat jelöli, melyek a Pauli-mátrixok háromdimenziós megfelelői:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

A Gell-Mann-mátrixok a következő kommutációs és antikommutációs szabálynak tesznek eleget:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$

ahol ${\displaystyle f}$ a Lie-algebra szerkezeti tényezőjeit jelöli. Ezek ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$ esetén a következők:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$

ahol olyan ${\displaystyle f_{abc}}$, melyek nem érhetőek el az előbb felsoroltak permutációjaként, automatikusan nullák. A szimmetrikus ${\displaystyle d}$ tényezők a következők:

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$

Egy általános ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ csoportelem, melyet egy ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 3\times 3}$-as hermitikus nyommentes mátrix generál, leírható a következő másodfokú mátrixpolinommal:^[15][16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\&{}+\left{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\&{}+\left{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$

ahol

${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left.}$

Adott ${\displaystyle F}$ test esetén definiálható az általánosított speciális unitér csoport ${\displaystyle SU(p,q;F)}$, mely azon lineáris leképezések csoportja, melyek determinánsa egy és egy ${\displaystyle F}$ feletti ${\displaystyle n=p+q}$-dimenziós vektortérhez tartoznak. Továbbá, ezek a leképezések változatlanul hagynak egy nemelfajuló, szeszkvilineáris formát, melynek szignatúrája ${\displaystyle (p,q)}$. Az ${\displaystyle F}$ mező felcserélhető egy kommutatív gyűrűre, ebben az esetben viszont a vektortér felcserélődik egy szabad modulusra.

Amennyiben egy ${\displaystyle (p,q)}$ szignatúrával rendelkező^[17] ${\displaystyle A\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ hermitikus mátrixot, akkor minden ${\displaystyle M\in \operatorname {SU} (p,q;\mathbb {R} )}$-re teljesül

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}}$

Amennyiben a csoport ${\displaystyle \operatorname {SU} (p,q)}$-ként van jelölve bármiféle testre való utalás nélkül, akkor a test általában a komplex számtest ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1)}$ egy fontos példája az általánosított speciális unitér csoportoknak. Definíció szerint a következő:

${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\{\bar {v}}&{\bar {u}}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):u{\bar {u}}-v{\bar {v}}=1\right\}.}$

Ez a csoport izomorf az ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ és a ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2,1)}$ csoportokkal,^[18] ahol a vesszővel elválasztott két szám annak a kvadratikus alaknak a szignatúrájára utal, melyet a csoport változatlanul hagy. A definícióban található ${\displaystyle u{\bar {u}}-v{\bar {v}}}$ kifejezés egy hermitikus forma, melyből egy izotropikus másodfokú forma lesz, ha a ${\displaystyle u}$-t és ${\displaystyle v}$-t a valós komponenseire felbontjuk.

A csoport egy korai formája a kokvaterniók egységgömbjeként mutatkozott meg. Legyen

${\displaystyle j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.}$

A három mátrix szorzata a kétdimenziós egységmátrix, továbbá mind a három mátrix antikommutál, mint a kvaterniók esetében. Továbbá, ${\displaystyle i}$ ugyanúgy az egységmátrix ${\displaystyle (-1)}$-szeresének négyzetgyöke, azonban ${\displaystyle j^{2}=k^{2}=I_{2}}$. Mind a kvaterniók, mind a kokvaterniók esetén a skalármennyiségek ${\displaystyle I_{2}}$ többszöröseinek tekinthetők, így a továbbiakban a szakaszban az ${\displaystyle I_{2}=1}$ jelölés lesz alkalmazva.

A ${\displaystyle ~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~}$ kokvaternió (ahol ${\displaystyle w}$ egy skalár) konjugáltja ${\displaystyle ~q^{*}=w-x\,i-y\,j-z\,k~}$, hasonlóan a kvaterniókhoz. Az általuk definiálható másodfokú forma ${\displaystyle ~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$ A kokvaterniók egységgömbjében ez a mennyiség 1, mely így pontosan megfeleltethető az ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1)}$ csoportnak, ha a definícióban használt ${\displaystyle u}$ és ${\displaystyle v}$ komplex számokat felbontjuk valós és imaginárius részükre.

A speciális unitér csoportot a fizikában fermionrendszerek szimmetriáinak leírására alkalmazzák. A spontán szimmetriasértés elméletében fontos bizonyos részcsoportjait felismerni. Például, a nagy egyesített elméletben jelentős részcsoportok ${\displaystyle p>1,\ n-p>1}$ esetén

${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),}$

ahol a ${\displaystyle \times }$ a direkt szorzatot jelöli, ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ pedig izomorf a körcsoporthoz, mely olyan komplex számokat tartalmaz, melyek normája egy.

Bizonyos ortogonális és szimplektikus csoportok is részcsoportjai ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$-nek:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}}$

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ részcsoportja a következő Lie-csoportoknak:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3).\end{aligned}}}$

A következő izomorfizmusok gyakran használatosak: ${\displaystyle \operatorname {SU} (4)=\operatorname {Spin} (6),\,\operatorname {SU} (2)=\operatorname {Spin} (3)=\operatorname {Sp} (1),\,\operatorname {Spin} (4)=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}$.^[19]

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ az egyik legfontosabb szimmetriacsoport a fizikában. Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ leírja a perdületet a kvantummechanikában, ezáltal a spint is. A csoport irreducibilis ábrázolásait egyedi módon karakterizálják a Casimir-operátor sajátértékei, ebből levezethető, hogy a spin vagy egész szám, vagy egy egész szám fele: például az elektron spinje 1/2 vagy -1/2 lehet, (a Planck-állandót elméleti fizikai konvenció szerint eggyel egyenlővé tesszük) a Pauli-mátrixok pedig a fundamentális ábrázolás generátorai. Mivel az ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ csoportnak három generátora van, így az adjugált ábrázolása háromdimenziós: ez a spin-1 részecskéket írja le.

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ csoport a részecskefizikában a színtöltést írja le: itt két Casimir-operátor van és az irreducibilis ábrázolásokat egy számpárral lehet identifikálni. Továbbá, az ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ segítségével osztályozhatók azok a hadronok, melyek könnyű (azaz top, down és strange) kvarkokból állnak.

Az ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ önmagával vett direkt szorzata (tehát ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}$) a relativisztikus kvantumelméletben is használt ortokrón Lorentz-csoport univerzális fedése.^[20]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Special unitary group című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Hall, Brian C.. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 2nd, Graduate Texts in Mathematics, Springer (2015). ISBN 978-3319134666 

• Az SU(2) ábrázoláselmélete részletesebben az angol Wikipédián
• Clebsch–Gordan-együtthatók az SU(3) ábrázoláselméletéhez az angol Wikipédián