Kommutátor (csoportelmélet)

Ez a szócikk a csoportelméleti fogalomról szól. Hasonló címmel lásd még: kommutátor (egyértelműsítő lap).

A matematika csoportelmélet nevű ágában egy ${\displaystyle G}$ csoport két ${\displaystyle a,b\in G}$ elemének kommutátora az ${\displaystyle =a^{-1}b^{-1}ab}$ csoportelem. Az elnevezést az indokolja, hogy egy szorzatnak a szorzandók kommutátorával való szorzása megfordítja a szorzandók sorrendjét: ${\displaystyle ba=baa^{-1}b^{-1}ab=ab}$. Két csoportelem éppen akkor felcserélhető egymással, ha a kommutátoruk a csoport egységeleme. Egy csoport éppen akkor Abel-csoport ha benne az egységelem az egyetlen kommutátor.^[1]

A kommutátorok homomorf képei maguk is kommutátorok, és speciálisan kommutátorok konjugáltjai is kommutátorok. Ennek megfelelően egy csoport kommutátorainak halmaza teljes konjugáltosztályok uniója.^[1]

A kommutátorok általában nem alkotnak részcsoportot, mert két kommutátor szorzata nem feltétlenül kommutátor. Beszélhetünk viszont viszont a kommutátorok által generált részcsoportról. Ezt a csoportot ${\displaystyle G}$ kommutátor-részcsoportjának vagy derivált csoportjának nevezzük, és hagyományosan ${\displaystyle G^{\prime }}$-vel jelöljük.^[1][2]

A kommutátorok homomorf képei maguk is kommutátorok, és speciálisan kommutátorok konjugáltjai is kommutátorok. Ennek megfelelően egy csoport kommutátorainak halmaza teljes konjugáltosztályok uniója.^[1] Mivel a kommutátorok halmaza zárt a konjugálásra nézve, az általuk generált részcsoport is az, tehát ${\displaystyle G^{\prime }}$ normálosztó ${\displaystyle G}$-ben.

A ${\displaystyle G/{G'}\,}$ faktorcsoport kommutatív, mi több, ${\displaystyle G^{\prime }}$ a legszűkebb olyan csoport, amely ezzel a tulajdonsággal bír: Más szóval, ha ${\displaystyle G/K\,}$ kommutatív, akkor szükségképpen ${\displaystyle G^{\prime }\subseteq K}$.^[2]

${\displaystyle G^{\prime }}$ akkor és csak akkor a triviális csoport, ha ${\displaystyle G}$ kommutatív, hiszen Abel-csoportban az egyetlen kommutátor az 1, és viszont, ha ${\displaystyle G^{\prime }}$ triviális, akkor nincs nemtriviális kommutátor ${\displaystyle G}$-ben, tehát a csoport kommutatív. A fentiekből következik, hogy egyszerű nemkommutatív ${\displaystyle G}$ csoportokra ${\displaystyle G=G^{\prime }}$.^[3]

• Kommutátor (gyűrűelmélet)

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!