Komplex analízis

A komplex analízis vagy komplexfüggvény-tan a matematika azon ága, amely a komplex változós komplex értékű függvényekkel foglalkozik. Alkalmazzák kétdimenziós fizikai problémák modellezésében és a számelméletben is.

A komplex analízisben központi szerep jut a függvények differenciálhatóságának, s konkrétan a holomorf illetve a meromorf függvények vizsgálatának.

Bővebben: Komplex függvény

Komplex függvény alatt olyan függvényeket értünk, melyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a komplex sík részhalmaza.

Valamely ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ függvény deriváltja a ${\displaystyle z}$ helyen a valós esethez hasonlóan értelmezhető. Ha az alábbi határérték létezik, akkor ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle z}$ helyen differenciálható, s a határértéket az ${\displaystyle f}$ függvény ${\displaystyle z}$ pontban vett deriváltjának nevezzük:

${\displaystyle f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\,}$

Ha egy ${\displaystyle f}$ függvény valamely ${\displaystyle \Omega }$ halmaz minden pontján differenciálható, akkor definiálható a derivált függvény is:

${\displaystyle f':\Omega \to \mathbb {C} }$

A komplex függvények differenciálhatóságra adnak ekvivalens feltételt a Cauchy–Riemann-egyenletek.^[1] Ezek mögött az van, hogy a határértéknek az adott pontban a komplex sík minden irányából közelítve azonosnak kell lennie. Mivel a komplex sík izomorf a kétdimenziós valós vektortérrel, ${\displaystyle f}$ komplex változós függvény felírható ekvivalens módon ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ alakban a következőképpen:

${\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}}$

Pontosan akkor differenciálható ${\displaystyle f}$ valamely ${\displaystyle z=x+yi}$ pontban, ha teljesülnek az úgynevezett Cauchy–Riemann egyenletek:

${\displaystyle \partial _{1}f_{1}(x,y)=\partial _{2}f_{2}(x,y)\qquad \partial _{1}f_{2}(x,y)=-\partial _{2}f_{1}(x,y)}$

Ekkor a derivált értéke a következő:

${\displaystyle f'(z)=\partial _{1}f_{1}(x,y)+\partial _{1}f_{2}(x,y)i}$

Megmutatható, hogy minden differenciálható komplex függvény analitikus, azaz az adott pont egy környezetében a függvény Taylor-sora létezik és előállítja a függvényt.

Mivel mind a változónak, mind a függvény értékének lehet valós és képzetes része is, az integrálás a vektorfüggvényekéhez hasonló. Legelterjedtebb a komplex síkon végigfutó görbe menti vonalintegrál. Cauchy tétele kimondja, hogy bármely analitikus függvényt egy zárt görbén integrálva az eredmény nulla lesz, tehát

${\displaystyle \oint f(z)dz=0.}$

A vonalintegrált sokszor akkor is tudjuk értelmezni, ha a függvény nem analitikus, azaz a a görbén belül szakadása, pólusa van. Példaként az ${\displaystyle f(z)=1/z}$ függvényt az origó körüli körön integrálva (kihasználva, hogy ${\displaystyle z=|z|e^{i\phi }}$)

${\displaystyle \oint {\frac {1}{z}}dz=i\int _{0}^{2\pi }d\phi =2\pi i.}$

Ebből megkapható, hogy egy ${\displaystyle {\frac {f(z)}{z-z_{\circ }}}}$ alakú függvény, ahol ${\displaystyle f(z)}$ tetszőleges, analitkus függvény, ${\displaystyle z_{\circ }}$ pólust tartalmazó zárt görbére vett integrálja az analitikus függvény ${\displaystyle z_{\circ }}$ pontbeli értékét adja:

${\displaystyle \oint {\frac {f(z)}{z-z_{\circ }}}dz=f(z_{\circ })2\pi i.}$

Bővebben: Holomorf függvények

A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt holomorfnak nevezzük, ha differenciálható.

A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.

Bővebben: Meromorf függvények

A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt meromorfnak nevezzük, ha legfeljebb izolált pontokban nem differenciálható.

A szó az ógörög meros (μέρος) szóból ered, mely azt jelenti rész, utalva arra, hogy a függvény csak az értelmezési tartományának egy részén differenciálható.

• Komplex analízis, 1-2.; Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2004–2007
  • Teodor Bulboacă–Németh Sándor; 1.; 2004
  • Teodor Bulboacă–Salamon Júlia: 2. Feladatok és megoldások; 2007