Mérték (matematika)

Matematika
A matematika alapjai
Halmazelmélet · Naiv halmazelmélet Axiomatikus halmazelmélet · Matematikai logika
Algebra
Elemi algebra · Lineáris algebra · Polinomok Absztrakt algebra · Csoportelmélet · Gyűrűelmélet · Testelmélet Mátrixok · Univerzális algebra
Analízis
Valós analízis · Komplex analízis · Vektoranalízis Differenciálegyenletek · Funkcionálanalízis Mértékelmélet
Geometria
Euklideszi geometria · Nemeuklideszi geometria Affin geometria · Projektív geometria Differenciálgeometria · Algebrai geometria Topológia
Számelmélet
Algebrai számelmélet · Analitikus számelmélet
Diszkrét matematika
Kombinatorika · Gráfelmélet · Játékelmélet Algoritmusok · Formális nyelvek Információelmélet
Alkalmazott matematika
Numerikus analízis · Valószínűségszámítás Statisztika · Káoszelmélet · Matematikai fizika Matematikai biológia · Gazdasági matematika Kriptográfia
Általános
Matematikusok · Matematikatörténet Matematikafilozófia · Portál

A mérték egy függvény, ami egy adott halmaz részhalmazaihoz egy számot rendel. A mindennapi életben például ilyen mérték lehet a hossz, a terület, a térfogat vagy a valószínűség.

A mérték az integrál fogalmát általánosítja.

A mértékelmélet a valós analízis egyik ága, amely a halmazok mérhetőségével foglalkozik. Fontos szerepet tölt be a valószínűségszámításban és a statisztikában.

Formális definíció

A mérték egy μ : Σ → {\displaystyle \mu :\Sigma \to } $\mu :\Sigma \to$ függvény, ahol Σ {\displaystyle \Sigma } $\Sigma$ egy X halmaz feletti σ-algebra, ami kielégíti az alábbi feltételeket:

Az üres halmaz mértéke nulla:

μ ( ∅ ) = 0 ; {\displaystyle \mu (\varnothing )=0;}

\mu (\varnothing )=0;

σ-additivitás: ha E1, E2, E3, … egy páronként diszjunkt, megszámlálható halmazsorozat Σ {\displaystyle \Sigma } $\Sigma$ -ban, akkor

μ ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) = ∑ i = 1 ∞ μ ( E i ) . {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).}

\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).

Az ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} $(X,\Sigma ,\mu )$ hármast nevezik mértéktérnek, és Σ {\displaystyle \Sigma } $\Sigma$ elemeit pedig mérhető halmazoknak.

Tulajdonságok

Monotonitás

μ monoton, vagyis ha E1 és E2 mérhető halmazok, és E1 ⊆ E2, akkor μ(E1) ≤ μ(E2).

Végtelen sok mérhető halmaz uniójának mértéke

Ha E1, E2, E3, … egy megszámlálható halmazsorozat Σ-ban, akkor

μ ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) ≤ ∑ i = 1 ∞ μ ( E i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}

\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})

Ha E1, E2, E3, … mérhető halmazok és En részhalmaza En+1-nek minden n-re, akkor az Ei halmazok uniója is mérhető, és

μ ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) = lim i → ∞ μ ( E i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}

\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})

Végtelen sok mérhető halmaz metszetének mértéke

Ha E1, E2, E3, … mérhető halmazok és minden n-re En+1 részhalmaza En-nek, akkor az En halmazok metszete is mérhető; illetve, ha legalább egy En halmaz mértéke véges, akkor

μ ( ⋂ i = 1 ∞ E i ) = lim i → ∞ μ ( E i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}

\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})

Ez a tulajdonság nem teljesül, ha nem tesszük fel, hogy legalább egy halmaz mértéke véges, ugyanis legyen minden n ∈ N esetén

E n = [ n , ∞ ) ⊆ R {\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }

E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R}

Ekkor minden halmaz végtelen mértékű, de a metszetük üres.

Példák

Források

Paul R. Halmos: Mértékelmélet (Gondolat, 1994)