Affin geometria
A matematika, azon belül a geometria területén használatos az affin geometria fogalma. Két ekvivalens módon is bevezethető.
Szemléletesen fogalmazva az affin geometria az euklideszi geometriából adódik a metrikus fogalmak, azaz a távolságok és szögek elhagyásával. Mivel a párhuzamosság az egyik legalapvetőbb metrikafüggetlen fogalom, az affin geometriát gyakran a párhuzamosok vizsgálatával azonosítják. Az affin geometriában alapvető a Playfair-axióma, vagyis az az állítás, hogy egy adott e egyeneshez és P ponthoz pontosan egy olyan egyenes létezik, amely párhuzamos e-vel és áthalad P-n. Az alakzatok összehasonlítása az affin geometriában az affin transzformációk segítségével történik.
Másfelől a lineáris algebrára alapozva is bevezethető az affin geometria. Ebben az esetben az affin tér egy ponthalmaz és egy transzformációhalmaz alkotta rendezett pár. A transzformációk bijektív leképezések oly módon, hogy minden (P, Q) pontpárra létezik egyértelműen egy transzformáció, amely a P pontot a Q pontra képezi le. A transzformációk a függvénykompozíció műveletével vektorteret alkotnak valamely test, jellemzően a valós számtest felett.
Axiomatikus definíció
Affin geometriának nevezzük az olyan P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} és E {\displaystyle {\mathfrak {E}}} (pont- illetve egyeneshalmazokból) képzett ( P , E ) {\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {E}})} rendezett párokat, amelyekre adott egy I ⊂ P × E {\displaystyle I\subset {\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {E}}} (metszési) reláció, valamint egy ‖ ⊂ E × E {\displaystyle \|\subset {\mathfrak {E}}\times {\mathfrak {E}}} (párhuzamossági) reláció a következő tulajdonságokkal:
és
E
{\displaystyle {\mathfrak {E}}}
(pont- illetve egyeneshalmazokból) képzett
(
P
,
E
)
{\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {E}})}
rendezett párokat, amelyekre adott egy
I
⊂
P
×
E
{\displaystyle I\subset {\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {E}}}
(metszési) reláció, valamint egy
‖
⊂
E
×
E
{\displaystyle \|\subset {\mathfrak {E}}\times {\mathfrak {E}}}
(párhuzamossági) reláció a következő tulajdonságokkal: - Két különböző A {\displaystyle A} és B {\displaystyle B} pontra pontosan egy olyan e {\displaystyle e} egyenes létezik, amely mindkét pontot metszi, azaz A I e {\displaystyle AIe} és B I e {\displaystyle BIe} egyaránt fennáll. Ezt az egyenest az egyszerűség kedvéért szokás A B {\displaystyle AB} egyenesként is emlegetni.
- Minden egyenes legalább két pontot metsz.
- A párhuzamossági reláció ekvivalenciareláció.
- Egy adott A {\displaystyle A} ponthoz és adott e {\displaystyle e} egyeneshez pontosan egy olyan e ′ {\displaystyle e'} egyenes létezik, amely metszi az A {\displaystyle A} pontot és párhuzamos az e {\displaystyle e} egyenessel.
- Ha adott egy A B C {\displaystyle ABC} háromszög (három nem egy egyenesen fekvő pont), valamint két A ′ {\displaystyle A'} és B ′ {\displaystyle B'} úgy, hogy az A B {\displaystyle AB} egyenes párhuzamos az A ′ B ′ {\displaystyle A'B'} egyenessel, akkor létezik egy olyan C ′ {\displaystyle C'} pont, amelyre az A C {\displaystyle AC} egyenes párhuzamos az A ′ C ′ {\displaystyle A'C'} egyenessel és a B C {\displaystyle BC} egyenes párhuzamos a B ′ C ′ {\displaystyle B'C'} egyenessel.
és
B
{\displaystyle B}
pontra pontosan egy olyan
e
{\displaystyle e}
egyenes létezik, amely mindkét pontot metszi, azaz
A
I
e
{\displaystyle AIe}
és
B
I
e
{\displaystyle BIe}
egyaránt fennáll. Ezt az egyenest az egyszerűség kedvéért szokás
A
B
{\displaystyle AB}
egyenesként is emlegetni.
egyenes létezik, amely metszi az
A
{\displaystyle A}
háromszög (három nem egy egyenesen fekvő pont), valamint két
A
′
{\displaystyle A'}
és
B
′
{\displaystyle B'}
úgy, hogy az
A
B
{\displaystyle AB}
egyenessel, akkor létezik egy olyan
C
′
{\displaystyle C'}
pont, amelyre az
A
C
{\displaystyle AC}
egyenes párhuzamos az
A
′
C
′
{\displaystyle A'C'}
egyenessel és a
B
C
{\displaystyle BC}
egyenes párhuzamos a
B
′
C
′
{\displaystyle B'C'}
egyenessel.Lásd még
Jegyzetek
- ↑ Artin, Emil (1988), Geometric algebra, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., pp. x+214, ISBN 0-471-60839-4 (Reprint of the 1957 original; A Wiley-Interscience Publication)
- ↑ Ewald, Günter (1974), Geometrie: Eine Einführung für Studenten und Lehrer, Moderne Mathematik in elementarer Darstellung, Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 978-3525405369
|
Ez a geometriai témájú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle! |
| Nemzetközi katalógusok |
|---|