Harmonikus rezgőmozgásnak nevezzük a két szélsőérték között, szinuszos periodicitással végzett mozgást. Szemléletesen, ha egy rugóhoz rögzített testet kitérítünk nyugalmi helyzetéből és magára hagyjuk, a test két a szélső helyzet között periodikusan ismétlődő mozgást végez majd. (Itt a testet pontszerűnek tekintjük, és csak kis mértékben térítjük ki nyugalmi helyzetéből, így nem okozunk maradandó alakváltozást a rugóban. A mozgás leírása során a külső erők hatását (pl. közegellenállás) elhanyagoljuk.)
Vannak nemharmonikus rezgőmozgások is, ezek közül legfontosabbak a csillapított rezgések.
Kitérés-idő függvény:
x
(
t
)
=
A
⋅
sin
(
ω
t
+
φ
0
)
{\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi _{0})}
Sebesség-idő függvény:
v
(
t
)
=
A
ω
⋅
cos
(
ω
t
+
φ
0
)
{\displaystyle v(t)=A\omega \cdot \cos(\omega t+\varphi _{0})}
Gyorsulás-idő függvény:
a
(
t
)
=
−
A
ω
2
⋅
sin
(
ω
t
+
φ
0
)
=
−
ω
2
x
{\displaystyle a(t)=-A\omega ^{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{0})=-\omega ^{2}x}
A harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulása egyenesen arányos a kitéréssel, és azzal ellentétes irányú. A sebesség és a gyorsulás is periodikus függvénye az időnek.
A sebesség maximuma a sebességamplitúdó:
v
m
a
x
=
A
ω
{\displaystyle v_{max}=A\omega }
A gyorsulás maximuma a gyorsulásamplitúdó:
a
m
a
x
=
−
A
ω
2
{\displaystyle a_{max}=-A\omega ^{2}}
Figyeljünk meg egy egyenletes körmozgást és egy harmonikus rezgőmozgást végző tömegpontot! A körmozgást állítsuk be úgy, hogy a sugara egyezzen a rezgés amplitúdójával, és periódusidejük megegyezzen. Ha oldalról (a körmozgás síkjából) egymás mellé vetítjük a két tömegpont árnyékát, azonos kezdőfázis esetén a két árnyék együtt mozog, mindkettő harmonikus rezgőmozgást végez.
![]() |
![]() |
A harmonikus rezgőmozgást a pont egyensúlyi helyzetétől mért kitérésével egyenesen arányos, és azzal ellentétes irányú erő, az úgynevezett harmonikus erő hozza létre: F = − D x {\displaystyle F=-Dx}
, ahol D rugóállandó vagy direkciós állandó.A dinamika alapegyenlete: m x ¨ = − D x {\displaystyle m{\ddot {x}}=-Dx} .
A differenciálegyenlet megoldásaként olyan függvényt keresünk, melynek idő szerinti második deriváltja arányos magával a függvénnyel. Ilyen pl. a szinusz- és a koszinuszfüggvény.
Az egyenlet megoldása: x ( t ) = A ⋅ sin ( ω t + φ ) {\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi )}
, ahol a körfrekvencia ω = D m {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {D}{m}}}} , a periódusidő T = 2 π m D {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{D}}}} .Egy harmonikus oszcillátornak, attól függően, hogy pályája melyik pontjában található lehet csak helyzeti (potenciális) energiája (maximális kitérés esetén), csak mozgási energiája (egyensúlyi ponton való áthaladáskor), vagy egyszerre mindkettő.
E = E c + E p {\displaystyle E=E_{c}+E_{p}} energiát ki lehet fejteni, mint
, ahol a kétE p = D x 2 2 = k A 2 s i n 2 ( ω 0 t + φ 0 ) 2 {\displaystyle E_{p}={\frac {Dx^{2}}{2}}={\frac {kA^{2}sin^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})}{2}}}
és
E c = m v 2 2 = m ω 0 2 A 2 c o s 2 ( ω 0 t + φ 0 ) 2 {\displaystyle E_{c}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {m\omega _{0}^{2}A^{2}cos^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})}{2}}}
Tudva, hogy ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} körfrekvenciára érvényes az ω 0 2 = k m {\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}} összefüggés, az előző egyenlet egyszerűbb alakra hozható. Vagyis,
E = k A 2 ( c o s 2 ( ω 0 t + φ 0 ) + s i n 2 ( ω 0 t + φ 0 ) ) 2 = k A 2 2 {\displaystyle E={\frac {kA^{2}(cos^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})+sin^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0}))}{2}}={\frac {kA^{2}}{2}}}
.A végeredmény értelmezhető a körfrekvenciával is, ekkor az előző kifejezés a következőképp módosul:
E = m ω 0 2 A 2 2 {\displaystyle E={\frac {m\omega _{0}^{2}A^{2}}{2}}}
,ami átírható az
E = m v 2 2 {\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}}
alakra is.Az energia E = k A 2 2 {\displaystyle E={\frac {kA^{2}}{2}}}
és E = m ω 0 2 A 2 2 ( = m v 2 2 ) {\displaystyle E={\frac {m\omega _{0}^{2}A^{2}}{2}}(={\frac {mv^{2}}{2}})} alakjaiból levonhatjuk a következő következtetéseket:A két rezgés frekvenciája megegyezik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A két rezgés kitérés-idő függvénye:
x
1
(
t
)
=
A
1
⋅
sin
(
ω
t
+
φ
1
)
{\displaystyle x_{1}(t)=A_{1}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{1})}
x
2
(
t
)
=
A
2
⋅
sin
(
ω
t
+
φ
2
)
{\displaystyle x_{2}(t)=A_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{2})}
Az eredő mozgás kitérés-idő függvénye:
x
(
t
)
=
A
1
⋅
sin
(
ω
t
+
φ
1
)
+
A
2
⋅
sin
(
ω
t
+
φ
2
)
=
A
⋅
sin
(
ω
t
+
δ
)
{\displaystyle x(t)=A_{1}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{1})+A_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{2})=A\cdot \sin(\omega t+\delta )}
ahol az eredő amplitúdó
A
=
A
1
2
+
A
2
2
+
2
A
1
A
2
cos
(
φ
2
−
φ
1
)
{\displaystyle A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}}
és az eredő kezdőfázis
δ
=
arctan
(
A
1
sin
φ
1
+
A
2
sin
φ
2
A
1
cos
φ
1
+
A
2
cos
φ
2
)
{\displaystyle \delta =\arctan {\Biggl (}{\frac {A_{1}\sin \varphi _{1}+A_{2}\sin \varphi _{2}}{A_{1}\cos \varphi _{1}+A_{2}\cos \varphi _{2}}}{\Biggr )}}
.
Speciális esetek
A két rezgés frekvenciája különbözik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. Egy egyszerűsített esetet vizsgálunk, amikor az amplitúdók és a kezdőfázisok megegyeznek. A két rezgés kitérés-idő függvénye:
x
1
(
t
)
=
A
⋅
sin
(
ω
1
t
)
{\displaystyle x_{1}(t)=A\cdot \sin(\omega _{1}t)}
x
2
(
t
)
=
A
⋅
sin
(
ω
2
t
)
{\displaystyle x_{2}(t)=A\cdot \sin(\omega _{2}t)}
Az eredő mozgás kitérés-idő függvénye: x ( t ) = A ⋅ sin ( ω 1 t ) + A ⋅ sin ( ω 2 t ) = 2 A ⋅ cos ( ω 1 − ω 2 2 t ) sin ( ω 1 + ω 2 2 t ) {\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega _{1}t)+A\cdot \sin(\omega _{2}t)=2A\cdot \cos({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t)\sin({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t)}
.Az amplitúdó A ∗ = 2 A ⋅ cos ( ω 1 − ω 2 2 t ) {\displaystyle A^{*}=2A\cdot \cos({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t)}
.Az amplitúdó az idő függvényében periodikusan változik, ezt lebegésnek nevezzük.
A két rezgés frekvenciája megegyezik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A két rezgés kitérés-idő függvénye:
x
(
t
)
=
A
⋅
sin
(
ω
t
)
{\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega t)}
y
(
t
)
=
B
⋅
sin
(
ω
t
+
δ
)
{\displaystyle y(t)=B\cdot \sin(\omega t+\delta )}
Az eredő mozgás pályája: x 2 A 2 + y 2 B 2 − 2 x y A B cos δ = sin 2 δ {\displaystyle {\frac {x^{2}}{A^{2}}}+{\frac {y^{2}}{B^{2}}}-2{\frac {xy}{AB}}\cos \delta =\sin ^{2}\delta } ellipszis egyenlete.
. Ez egyAz ellipszis tengelyének iránya δ {\displaystyle \delta }
fáziskülönbségtől függ.A két rezgés frekvenciája különbözik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A körfrekvenciák aránya ( ω 1 : ω 2 {\displaystyle \omega _{1}:\omega _{2}}
) alapján két esetet különböztetünk meg:![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |