Fizikai inga

Fizikai inga elnevezést használunk minden olyan merev testre, ami rögzített tengely körül a nehézségi erő hatására elfordulhat, és lengő mozgást végezhet. Ez akkor valósulhat meg, ha a forgástengely nem megy át a test tömegközéppontján, és nem függőleges.

A mozgás egyenletei

A fizikai inga modellje

A mozgás paramétereit a merev testek rögzített tengely körüli forgását leíró forgásegyenlet alapján lehet meghatározni:

M = I β {\displaystyle M=I\beta }

M=I\beta

ahol M {\displaystyle M} $M$ a nehézségi erő forgatónyomatéka az adott tengelyre, I {\displaystyle I} $I$ a merev test adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, β {\displaystyle \beta } $\beta$ a szöggyorsulás.

A nehézségi erőnek a vízszintes tengelyre vonatkozó forgatónyomatéka az ábra jelöléseivel:

M = − m g L sin ⁡ θ {\displaystyle M=-mgL\sin \theta }

M=-mgL\sin \theta

ahol m {\displaystyle m} $m$ a test tömege, g {\displaystyle g} $g$ a földi nehézségi gyorsulás, L {\displaystyle L} $L$ a tömegközéppont és a forgástengely távolsága, θ {\displaystyle \theta } $\theta$ az a szög, amit a tömegközéppontot és a forgástengelyt összekötő egyenes a függőlegessel bezár. Ez a szög jellemzi a test helyzetét az egyensúlyi helyzethez képest. A negatív előjelet úgy értelmezhetjük, hogy a szögkitérés és a forgatónyomaték ellentétes irányúak. Az ábrán a kitérés jobbra nő, miközben a nehézségi erő balra forgat.

A szöggyorsulás a szögkitérés idő szerinti második deriváltja:

β = d 2 θ d t 2 {\displaystyle \beta ={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}}

\beta ={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}

A merev test forgását meghatározó forgásegyenlet tehát egy másodrendű differenciálegyenlet:

I d 2 θ d t 2 = − m g L sin ⁡ θ {\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgL\sin \theta }

I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgL\sin \theta

A matematikai ingánál is alkalmazott közelítés, amikor az egyenlet megoldását kis kitérések esetén keressük. Ebben az esetben a szinuszfüggvényt közelíteni lehet magával a szöggel:

sin ⁡ θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta }

\sin \theta \approx \theta

Ezt a közelítést alkalmazva átrendezés után kapjuk:

d 2 θ d t 2 + m g L I θ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {mgL}{I}}\theta =0}

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {mgL}{I}}\theta =0

Bevezetve a következő jelölést:

ω = m g L I {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {mgL}{I}}}}

\omega ={\sqrt {\frac {mgL}{I}}}

az egyenlet a következő alakra hozható: d 2 θ d t 2 = − ω 2 θ {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-\omega ^{2}\theta } ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-\omega ^{2}\theta$ .

Ez az egyenlet a harmonikus rezgőmozgást végző test mozgásegyenlete. A fizikai inga mozgása tehát kis kitéréseknél ω {\displaystyle \omega } $\omega$ körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgásnak tekinthető.

A vízszintes tengely körül szabad lengéseket végző inga periódusideje kis kitérések esetén:

T = 2 π I m g L {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgL}}}}

T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgL}}}

A fizikai inga redukált hossza

Adott fizikai ingához található olyan matematikai inga, amelynek a lengésideje megegyezik az adott fizikai inga lengésidejével. A korábbi jelöléseket megtartva és bevezetve az inga l 0 {\displaystyle l_{0}} $l_{0}$ redukált hosszát:

l 0 = I m L {\displaystyle l_{0}={\frac {I}{mL}}}

l_{0}={\frac {I}{mL}}

a matematikai inga analógiájára a periódusidő átírható:

T = 2 π l 0 g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l_{0}}{g}}}}

T=2\pi {\sqrt {\frac {l_{0}}{g}}}

Nem vízszintes tengely körüli lengések

Ha a forgástengely nem vízszintes, hanem azzal ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ szöget bezáró, akkor a nehézségi erőnek a megfelelő komponensével kell számolnunk. A forgatónyomaték a következő lesz:

M = − m g L sin ⁡ θ cos ⁡ ψ {\displaystyle M=-mgL\sin \theta \cos \psi }

M=-mgL\sin \theta \cos \psi

A periódusidő ennek megfelelően:

T = 2 π I m g L cos ⁡ ψ {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgL\cos \psi }}}}

T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgL\cos \psi }}}

Alkalmazások

Időmérés

Széleskörűen elterjedt alkalmazás az időmérés ingaórával. A 2 másodperc periódusidejű ingát másodpercingának hívják, ennek hossza ~1 m. (Az 1 m hosszú matematikai inga periódusideje 2,006066 s). Az ingaórákban előszeretettel alkalmazzák a másodpercingát, mivel ez az inga minden kilendülésnél egyszer elmozdítja a másodperc mutatót. Az ingaórák a súrlódás következtében pontatlanok lesznek.

Gravitáció mérése

A g nehézségi gyorsulás változóként szerepel az inga lengésidejének képletében, ez azt jelenti, hogy az inga frekvenciája a Föld különböző pontjain eltérő lesz. Így például, ha egy ingaóra pontosan jár Glasgowban (ahol a g = 9,915 63 m/s²) és ezt az órát elvisszük Kairóba, (ahol g = 9,793 17 m/s²), az inga hosszát 0,23%-kal meg kell rövidíteni

Az inga ennélfogva alkalmas a földmérésben a helyi gravitáció mérésére a Föld bármely pontján – ezt gravimetriának hívják.

Szeizmológia

Csaknem függőleges tengelyű - úgynevezett horizontális - ingát használtak az első szeizmográfokban a földrengések mérésére. Az inga lengésideje - a fentebb tárgyalt nem vízszintes tengelyű lengéseknél láthatóan - változik, ha megváltozik a vízszintessel bezárt szög. A földrengés következtében megváltozó szög miatt a műszer mutatójának mozgásához tartozó periódusidő megváltozik, ezt egy dobra felcsévélt szalagra rajzolta a műszer.

Schuler-hangolás

Ahogy először Maximilian Schuler igazolta 1923-ban írt, klasszikussá vált dolgozatában, hogy egy inga, melyenek periódusideje pontosan megegyezik egy hipotetikus mesterséges holddal, mely a Föld felszine magasságában kering (ez ~84 perc) a Föld középpontja felé fog mutatni, ha az alapja hirtelen elmozdul. Ez az alapelve a Schuler-hangolásnak, melyet minden inerciális vezérlés tervezésénél figyelembe kell venni, amely a Föld közelében működik, tehát például repülőgépeken vagy hajókon.

Csatolt ingák

Két csatolt inga kettős ingát alkot. Sok fizikai rendszert lehet modellezni csatolt ingával. Bizonyos feltételek mellett ezek a rendszerek a kaotikus mozgás szemléltetésére is alkalmasak.

Szórakoztató ingák

Ingát gyakran látni játszótereken. A hinta egy bizonyos fajta parametrikus lengőrendszer. Hintákkal szoktak kiegészíteni körhintákat is a nagyobb élmény kedvéért.

Rugózás helyettesítése

Az inga hasonlóan viselkedik, mint egy rugó-tömeg rendszer. Néhány esetben (például mozdonyoknál) a kocsiszekrény vízszintes irányú rugózását ingás felfüggesztéssel helyettesítik.

Források

↑ Demény A., Erostyák J., Szabó G., Trócsányi Z.: Fizika I. Klasszikus mechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005, ISBN 963-19-5719-5
↑ Seismograph

További információk

Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN 963-10-359-13
Interaktív Java szimuláció egy egyszerű inga mozgásáról. Szerző: Erik Neumann
Interaktív Java szimuláció a kettős inga mozgásáról. Szerző: Erik Neumann

Lásd még

Külső hivatkozások

Nemzetközi katalógusok	LCCN: sh85099384 GND: 4173651-5 NKCS: ph581644 BNF: cb11966679g KKT: 00563762