Számtani sorozat

A számtani sorozat (más néven aritmetikai sorozat, régies néven számtani vagy aritmetikai haladvány) egy elemi matematikai fogalom, mely a matematika sok részterületén előfordul. Egy legalább három számból álló – akár véges, akár végtelen – sorozatot akkor nevezünk számtani sorozatnak, ha a szomszédos elemek különbsége – differenciája – (a sorozatra jellemző) állandó.

Triviális példák a csupa azonos elemből álló konstans sorozatok, hiszen ezekben két szomszédos elem különbsége mindig 0; a legegyszerűbb nem triviális példák a természetes számok sorozata (0, 1, 2, 3, 4, 5, …) vagy a páros számok sorozata (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …). A számtani sorozat a kontinuum felett értelmezett valós függvények elméletében definiálható egyváltozós lineáris függvény fogalmának diszkrét megfelelője, ahol e függvény értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (D{an} ∈ N).

Definíciói

Különbségsorozattal

Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó, vagyis

a n − a n − 1 = d {\displaystyle a_{n}-a_{n-1}=d}

a_{n}-a_{n-1}=d

, ha n > 1 {\displaystyle n>1}

n>1

A sorozat (fent d-vel jelölt) különbségét, más szóval növekményét differenciának nevezzük, szokásos jelölése általában is d.

Példák a számtani sorozatra:
− 5 ; − 1 ; 3 ; 7 ; 11 … {\displaystyle -5;-1;3;7;11\dots } $-5;-1;3;7;11\dots$ , itt a differencia 4, a 1 {\displaystyle a_{1}} $a_{1}$ =–5, a 2 {\displaystyle a_{2}} $a_{2}$ =–1, a 3 {\displaystyle a_{3}} $a_{3}$ =3 stb.
128 ; 112 ; 96 ; 80 ; 64 … {\displaystyle 128;112;96;80;64\dots } $128;112;96;80;64\dots$ , a differencia –16, a 1 {\displaystyle a_{1}} $a_{1}$ =128, a 2 {\displaystyle a_{2}} $a_{2}$ =112, a 3 {\displaystyle a_{3}} $a_{3}$ =96 stb.
3 , 41 ; 5 , 71 ; 8 , 01 ; 10 , 31 ; 12 , 61 … {\displaystyle 3,41;\ 5,71;\ 8,01;\ 10,31;\ 12,61\dots } $3,41;\ 5,71;\ 8,01;\ 10,31;\ 12,61\dots$ , a differencia 2,3.
25 7 ; 14 7 ; 3 7 ; − 8 7 ; − 19 7 {\displaystyle {\frac {25}{7}};{\frac {14}{7}};{\frac {3}{7}};-{\frac {8}{7}};-{\frac {19}{7}}} ${\frac {25}{7}};{\frac {14}{7}};{\frac {3}{7}};-{\frac {8}{7}};-{\frac {19}{7}}$ , a differencia − 11 7 {\displaystyle -{\frac {11}{7}}} $-{\frac {11}{7}}$ . Ahogy látható, a sorozat elemei és a differencia is lehetnek törtek.

A különbségsorozat fogalma segítségével a számtani sorozat definíciója így hangzik: a 1 , a 2 , a 3 … a n , a n + 1 … {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots a_{n},a_{n+1}\dots } $a_{1},a_{2},a_{3}\dots a_{n},a_{n+1}\dots$ akkor és csak akkor számtani sorozat, ha a n + 1 − a n = d {\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d} $a_{n+1}-a_{n}=d$ állandó, minden olyan n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } $n\in \mathbb {N}$ -ra, amelyre van a sorozatnak n-edik tagja (ha esetleg a sorozat véges lenne).

Teljesen formalizálva, (an) akkor és csak akkor számtani sorozat, ha létezik olyan C valós szám, amelyre a sorozat két egymást sorrendben követő elemének a különbözete C állandó (a sorozat n indexei pozitív egészek), azaz:

( ∃ C ∈ R ) ( ∀ n ∈ N ) : Δ a n = a n + 1 − a n = C {\displaystyle (\exists C\in \mathbb {R} )(\forall n\in \mathbb {N} ):\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}=C}

(\exists C\in \mathbb {R} )(\forall n\in \mathbb {N} ):\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}=C

Rekurzív definíció

A fentiekből következik a számtani sorozat rekurzív képlete:

a n + 1 = a n + d , ∀ n ∈ N + {\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d,\forall n\in N^{+}}

a_{n+1}=a_{n}+d,\forall n\in N^{+}

Ez azt jelenti, hogy a sorozat következő elemét mindig úgy kapjuk, hogy hozzáadjuk az előző taghoz a differenciát. Ez tényleg pontosan azt jelenti, hogy a sorozat szomszédos tagjainak különbsége állandó.

A képletből következően a számtani sorozatok halmaza egy rekurzív sorozat-család, minimális rekurziós rendje 1, rekurziós szabálya(i) pedig a φd: R→R; φd(x) := x+d függvénycsalád, ahol d a sorozat(ok)ra jellemző állandó.

„Általános taggal”

Az első taggal kifejezve

A sorozat n-edik elemére nem csak rekurzív, hanem explicit képlet is adható. Mivel a sorozat minden lépésben d-vel változik, ezért

a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d}

a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d

Bővebben,

a2 = a1+d;
a3 = a2+d = (a1+d)+d = a1+2d;
a4 = a3+d = (a1+2d)+d = a1+3d;
s. í. t. …

Hasonlóan haladva és teljes indukcióval bizonyíthatóan,

an = an-1+d = (a1+(n-2)d)+d = a1+(n-1)d;

A szomszédos tagokkal kifejezve

Ugyanezen okból – a lépésről lépésre d-vel való növekedés miatt – vezethető le az a tulajdonság, amelyről a számtani sorozatok nevüket nyerték. U.is véve a sorozat n-edik (de legalább második) elemét, a megelőző elem d-vel kisebb (an-1 = an-d), a rákövetkező elem d-vel nagyobb (an+1 = an+d).

Tehát (összeadva a fenti egyenlőségeket) an-1 + an+1 = (an-d)+(an+d) = 2an.

Vagyis az n-edik elem a két szomszédos elem számtani közepe („átlaga”):

a n = a n − 1 + a n + 1 2 {\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}

a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}

De érvényes – hasonló okok miatt – az ennél általánosabb

a n = a n − i + a n + i 2 {\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-i}+a_{n+i}}{2}}}

a_{n}={\frac {a_{n-i}+a_{n+i}}{2}}

egyenlőség is minden i<n-re. Azaz egy sorozat akkor és csak akkor számtani sorozat, ha bármely eleme számtani közepe a sorozatban tőle azonos index-távolságra lévő tagoknak. A fenti gondolatmenet egyébként nem igazolja, hogy bármely, a fenti tulajdonsággal jellemezhető sorozat szükségképp számtani, noha az is igaz, ld. Számtani közép/Számtani sorozatok.

Analitikus szemléletű definíció

Az n-edik tagra vonatkozó képletben csoportosítva az állandó és a változó mennyiségeket:

a n = d n + ( a 1 − d ) {\displaystyle a_{n}=dn+(a_{1}-d)}

a_{n}=dn+(a_{1}-d)

Így látható, hogy a számtani sorozatok épp azok a sorozatok, melyek az n független változójuk „lineáris” függvényei, azaz az

f(n) = mn+c

alakú sorozatok, ahol m,c olyan valós állandók, melyekre m=d és c=a1-d.

Példák

első tag	különbség	a sorozat pár tagja	n-edik tag (n∈N)
0	1	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …	n-1
0	2	0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …	2n-2
1	0	1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …	1
1	2	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …	2n-1
101	-20	101, 81, 61, 41, 21, 1, -19, …	-20n+121
-3,11	-1,01	-3,11; -4,12; -5,13; -6,14; -7,15; -8,16;	-1,01n-2,1

Legyen az (an) számtani sorozatban: a 1 = 0 {\displaystyle a_{1}=0} $a_{1}=0$ , a differencia: d = 3 {\displaystyle d=3} $d=3$ , akkor a sorozat: 0; 3; 6; 9; 12; 15, …, és a sorozatot az an = 3n-3 (n∈N) képlet adja meg.
Az a n = ( n 1 ) {\displaystyle \textstyle a_{n}={n \choose 1}} $\textstyle a_{n}={n \choose 1}$ képlettel definiált sorozat is számtani sorozat (a Pascal-háromszög "második ferde sora"), egyébként (an) = (n) (itt n∈N+).

Összegzési képlet

A sorozat első n tagjának összegét ( S n {\displaystyle S_{n}} $S_{n}$ ) a következő ötlettel határozhatjuk meg. Vegyük az első n tagot, ezek: a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}} $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ . Majd írjuk fel ez alá a tagokat fordított sorrendben, vagyis a n , a n − 1 , … , a 1 {\displaystyle a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1}} $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1}$ . Számítsuk ki ennek a 2n darab számnak az összegét. Ez egyrészt a keresett összeg kétszerese, hiszen az első n tag mindegyike pontosan kétszer szerepel. Másrészt pedig az egymás alatt lévő számok összege éppen a 1 + a n {\displaystyle a_{1}+a_{n}} $a_{1}+a_{n}$ . Összesen n egymás alatti pár van, vagyis az összeg éppen ( a 1 + a n ) ⋅ n {\displaystyle (a_{1}+a_{n})\cdot n} $(a_{1}+a_{n})\cdot n$ . De ez az általunk keresett összeg (azaz az első n tag összegének) kétszerese, vagyis a helyes eredmény:

S n = ( a 1 + a n ) ⋅ n 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}}}

S_{n}={\frac {(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}}

Ha még azt is felhasználjuk, hogy a n = a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d} $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ , akkor

S n = ⋅ n 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {\cdot n}{2}}}

S_{n}={\frac {\cdot n}{2}}

Ezt a képletet alkalmazva a 1 = 1 {\displaystyle a_{1}=1} $a_{1}=1$ és d = 1 {\displaystyle d=1} $d=1$ esetben, megkapjuk az első n pozitív egész szám összegét, azaz ( n + 1 ) ⋅ n 2 {\displaystyle {\frac {(n+1)\cdot n}{2}}} ${\frac {(n+1)\cdot n}{2}}$ -t vagy leegyszerűsítve: n 2 + n 2 {\displaystyle {\frac {n^{2}+n}{2}}} ${\frac {n^{2}+n}{2}}$ .

E formula lényegében már a XIII. szd.-ban is ismert volt, persze leírása a kornak megfelelően történt; az összegzés módszerét mindenesetre már Leonardo Pisano (ismertebb nevén Fibonacci) is leírta (Liber Abaci; 1202, ch. II.12).

További tulajdonságok

Növekedési tulajdonságok

A számtani sorozat monoton növekvő, és alulról korlátos, ha d > 0 {\displaystyle d>0} $d>0$
A számtani sorozat monoton csökkenő, és felülről korlátos, ha d < 0 {\displaystyle d<0} $d<0$
A számtani sorozat nemnövekvő, nemcsökkenő, azaz állandó, ha d = 0 {\displaystyle d=0} $d=0$

Algebrai tulajdonságok

Két számtani sorozat összege és különbsége, továbbá egy számtani sorozat valós számszorosa (mint például ellentettje) is számtani sorozat.

Konkrétan: ha (an) = (a1+(n-1)d) és (bn) = (b1+(n-1)e) két számtani sorozat, akkor ((a+b)n) = (an+bn) = (a1+b1+(n-1)(d+e)) is számtani sorozat, melynek első tagja a tagok első tagjai összege, azaz a1+b1, és differenciája a tagok differenciáinak összege, azaz d+e.

Továbbá ha α∈R tetszőleges valós szám, akkor α(an) = (αa1+(n-1)αd) is számtani sorozat, első tagja az eredeti sorozat első tagjának α-szorosa; differenciája az eredeti sorozat differenciájának α-szorosa.

Ez azt jelenti, hogy a valós számtani sorozatok az összeadással kommutatív csoportot, illetve a számmal szorzást is hozzávéve, lineáris teret alkotnak. Tetszőleges csoport elemeiből képezett számtani sorozatokra szintén elmondható ugyanez.

Igazolható, hogy két számtani sorozat szorzata mindig másodrendű számtani sorozat, hiszen ha an = a1+(n-1)d és bn = b1+(n-1)e, akkor anbn = · = a1b1+(n-1)(d+e)+(n-1)2de = (a1b1-d-e+de)+(d+e-2de)n+(de)n2, ami megfelel a Másodrendű számtani sorozatok analitikus szemléletű definíciójának, továbbá az ott írtak alapján az is megállapítható, hogy a szorzatsorozat 1). különbségsorozatának differenciája a tényezők differenciáinak kétszeres szorzata; (D=2de) 2). különbségsorozatának első tagja az 1-gyel megnövelt differenciák szorzatánál eggyel kisebb (Δ(ab)1 = (d+1)(e+1)-1); és . ami a tagonkénti szorzat definíciójának is egyszerű következménye – első tagja természetesen a tényezők első tagjainak szorzata.

Lineáris algebrai leírás

A valós számsorozatok RN+ halmaza a tagonkénti összeadás és a tagonkénti ellentettképzés műveletével kommutatív csoportot alkotnak (nullelem a (0) := (0,0,0,…) sorozat). A számmal való tagonkénti szorzás műveletét hozzávéve pedig vektorteret kapunk. Ezen a téren belül a számtani sorozatok családja egy kétdimenziós generált alteret alkot, amelyet az {1} := {1,1,1,…} és az (n) := (1,2,3,4,5…) sorozatok generálnak, hiszen tetszőleges n>-0-ra (an) = (a1+(n-1)d) = (a1+nd-d) = a1·(1)+d(n)+(-d)·(1). Tehát a számtani sorozatok halmaza a <(0), (n)> generált altér.

Magasabb rendű számtani sorozatok

A sorképzéssel számtani sorozatokra visszavezethető sorozatok magasabb rendű számtani sorozatok. Ezek éppen azok a sorozatok, melyek képzését polinommal lehet leírni. A polinom foka megegyezik a sorozat rendjével.

Összegzési képletek

Képletek a különböző rendű számtani sorozatok részletösszegeinek kiszámítására:

∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}} $\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$
∑ i = 1 n i 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}} $\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$
∑ i = 1 n i 3 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}} $\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$

Általános esetre alkalmazható a Faulhaber-képlet:

∑ i = 1 n i p = ( n + 1 ) p + 1 p + 1 + ∑ k = 1 p B k p − k + 1 ( p k ) ( n + 1 ) p − k + 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}} $\sum _{i=1}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}$ .

ahol B k {\displaystyle B_{k}} $B_{k}$ a k {\displaystyle k} $k$ -adik Bernoulli-szám.

Tetraéderszámok

A tetraéderszámok harmadrendű számtani sorozatot alkotnak. A sorozat elemei ezzel a harmadfokú polinommal számíthatók ki:

a n = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 6 = 1 6 ⋅ ( n 3 + 3 n 2 + 2 n ) {\displaystyle a_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {1}{6}}\cdot (n^{3}+3n^{2}+2n)}

a_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {1}{6}}\cdot (n^{3}+3n^{2}+2n)

A polinomban szereplő legnagyobb hatvány a polinom foka.

Sorozat:

0 {\displaystyle 0\ }

0\

1 {\displaystyle 1\ }

1\

4 {\displaystyle 4\ }

4\

10 {\displaystyle 10\ }

10\

20 {\displaystyle 20\ }

20\

35 {\displaystyle 35\ }

35\

56 {\displaystyle 56\ }

56\

84 {\displaystyle 84\ }

84\

. . . {\displaystyle ...\ }

...\

1. különbségsorozat:

1 {\displaystyle 1\ }

1\

3 {\displaystyle 3\ }

3\

6 {\displaystyle 6\ }

6\

10 {\displaystyle 10\ }

10\

15 {\displaystyle 15\ }

15\

21 {\displaystyle 21\ }

21\

28 {\displaystyle 28\ }

28\

. . . {\displaystyle ...\ }

...\

2. különbségsorozat:

2 {\displaystyle 2\ }

2\

3 {\displaystyle 3\ }

3\

4 {\displaystyle 4\ }

4\

5 {\displaystyle 5\ }

5\

6 {\displaystyle 6\ }

6\

7 {\displaystyle 7\ }

7\

. . . {\displaystyle ...\ }

...\

3. különbségsorozat:

1 {\displaystyle 1\ }

1\

1 {\displaystyle 1\ }

1\

1 {\displaystyle 1\ }

1\

1 {\displaystyle 1\ }

1\

1 {\displaystyle 1\ }

1\

. . . {\displaystyle ...\ }

...\

A táblázatból láthatóan a tetraéderszámok első különbségsorozata a háromszögszámok másodrendű számtani sorozata.

Négyzetszámok

A négyzetszámok sorozata másodrendű számtani sorozat:

Sorozat:

0 {\displaystyle 0\ }

0\

1 {\displaystyle 1\ }

1\

4 {\displaystyle 4\ }

4\

9 {\displaystyle 9\ }

9\

16 {\displaystyle 16\ }

16\

25 {\displaystyle 25\ }

25\

36 {\displaystyle 36\ }

36\

49 {\displaystyle 49\ }

49\

. . . {\displaystyle ...\ }

...\

1. különbségsorozat:

1 {\displaystyle 1\ }

1\

3 {\displaystyle 3\ }

3\

5 {\displaystyle 5\ }

5\

7 {\displaystyle 7\ }

7\

9 {\displaystyle 9\ }

9\

11 {\displaystyle 11\ }

11\

13 {\displaystyle 13\ }

13\

. . . {\displaystyle ...\ }

...\

2. különbségsorozat:

2 {\displaystyle 2\ }

2\

2 {\displaystyle 2\ }

2\

2 {\displaystyle 2\ }

2\

2 {\displaystyle 2\ }

2\

2 {\displaystyle 2\ }

2\

2 {\displaystyle 2\ }

2\

. . . {\displaystyle ...\ }

...\

Többdimenziós számtani sorozatok

A számtani sorozatok magasabb dimenziós általánosítása

a + m b + n c {\displaystyle a+mb+nc}

a+mb+nc

ahol m = 1 , 2 , ⋯ , k {\displaystyle m=1,2,\cdots ,k} $m=1,2,\cdots ,k$ , n = 1 , 2 , ⋯ , l {\displaystyle n=1,2,\cdots ,l} $n=1,2,\cdots ,l$ , a , b , c ∈ N {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {N} } $a,b,c\in \mathbb {N}$ konstansok. A definíció hasonló más dimenziókban.

Érdekességek

Már az ókori egyiptomiak is ismerték a számtani és mértani sorozatot. Erről tanúskodik az ún. Rhind-papirusz, amely körülbelül Kr. e. 1750-ből való.

Egy híres történet, amely a szájhagyomány útján átalakult, arról szól, hogy Gauss általános iskolai tanára, J. G. Büttner diákjait azzal akarta lefoglalni, hogy 1-től 100-ig adják össze az egész számokat. A fiatal Gauss mindenki megdöbbenésére másodpercek alatt előrukkolt a helyes megoldással, megvillantva matematikai éleselméjűségét. Gauss észrevette, hogy a sor ellenkező végein lévő számok párokba állításával azonos összegeket kap: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 stb., ami összesen 50 ⋅ 101 = 5050 {\displaystyle 50\cdot 101=5050} $50\cdot 101=5050$ -et eredményez (lásd az összegzési képletet). Több információ a témában itt található:.
A számtani sorozatok egymás után tetszőleges véges számú prím elemet tartalmazhatnak, ahogy azt Terence Tao és Ben Green bebizonyította. 2015-ben négy ilyen leghosszabb sorozatot ismertek, melyek 26 elemből álltak (AP-26).

43142746595714191 + 23681770·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 és 23# = 223092870 (Benoãt Perichon, 2010. április 12.); 3486107472997423 + 1666981·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (James Fry, 2012. március 16.), 136926916457315893 + 44121555·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (Bryan Little, 2014. február 23.) 161004359399459161 + 47715109·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (Bryan Little, 2015. február 19.).

Egy tízelemű hasonló sorozat:

199 {\displaystyle 199\ }

199\

409 {\displaystyle 409\ }

409\

619 {\displaystyle 619\ }

619\

829 {\displaystyle 829\ }

829\

1039 {\displaystyle 1039\ }

1039\

1249 {\displaystyle 1249\ }

1249\

1459 {\displaystyle 1459\ }

1459\

1669 {\displaystyle 1669\ }

1669\

1879 {\displaystyle 1879\ }

1879\

2089 {\displaystyle 2089\ }

2089\

210 {\displaystyle 210\ }

210\

210 {\displaystyle 210\ }

210\

210 {\displaystyle 210\ }

210\

210 {\displaystyle 210\ }

210\

210 {\displaystyle 210\ }

210\

210 {\displaystyle 210\ }

210\

210 {\displaystyle 210\ }

210\

210 {\displaystyle 210\ }

210\

210 {\displaystyle 210\ }

210\

Jegyzetek

↑ A számtani sorozat és lineáris függvények kapcsolatának részleteit ld. itt.
↑ Ben Green; Terence Tao: The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. In: Annals of Mathematics 167 (2008), Nr. 2, S. 481–547. Vgl. David Conlon; Jacob Fox; Yufei Zhao: The Green–Tao theorem. An exposition. In: EMS Surveys in Mathematical Sciences 1 (2014), Nr. 2, S. 249–282.
↑ Weisstein, Eric W.: Prime Arithmetic Progression (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Arithmetische Folge című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Irodalom

Varga Tamás: Matematika lexikon. Műszaki Könyvkiadó, SHL Hungary Kft., Budapest 2001. ISBN 963-16-2819-1; ISBN 963-00-8549-6
Sain Márton: Nincs királyi út – Matematikatörténet. Gondolat, Budapest 1986. ISBN 963-281-7044

További információk

Dr. Rókáné Rózsa Anikó írása Archiválva 2006. augusztus 16-i dátummal a Wayback Machine-ben
Számtani és mértani sorozat definíciója
Számtani sorozat

Számtani sorozat

Definíciói

Különbségsorozattal

Rekurzív definíció

„Általános taggal”

Példák

Összegzési képlet

További tulajdonságok

Növekedési tulajdonságok

Algebrai tulajdonságok

Lineáris algebrai leírás

Magasabb rendű számtani sorozatok

Összegzési képletek

Tetraéderszámok

Négyzetszámok

Többdimenziós számtani sorozatok

Érdekességek

Jegyzetek

Fordítás

Irodalom

További információk

Kapcsolódó szócikkek