Lipschitz-tulajdonság

Azt mondjuk, hogy az f {\displaystyle f} valós-valós függvény teljesíti a Lipschitz-tulajdonságot (vagy Lipschitz-folytonos, vagy a matematikus argóban lipschitzes), ha létezik olyan L {\displaystyle L} nemnegatív valós szám, amelyre az f {\displaystyle f} függvény értelmezési tartományában lévő minden x {\displaystyle x} és y {\displaystyle y} pontra fennáll az

| f ( x ) − f ( y ) | ≤ L ⋅ | x − y | {\displaystyle \left\vert f(x)-f(y)\right\vert \leq L\cdot \left\vert x-y\right\vert }

egyenlőtlenség.

Lényegében ez azt jelenti, hogy a függvény görbéjének két tetszőleges pontjához húzott szelő nem lehet akármilyen nagy meredekségű, csak L {\displaystyle L} és − L {\displaystyle -L} közötti érték. A függvény tehát nem változhat akármilyen nagyot.

A differenciálegyenletek elméletében a Lipschitz-folytonosság a központi feltétel a Picard–Lindelöf-tételhez, mely a kezdetiérték-probléma megoldásának egyértelmű létezését biztosítja. Egy speciális típusú lipschitzesség, a kontrakció ( L < 1 ) {\displaystyle (L<1)} tulajdonsága fontos szerepet játszik Banach fixponttételében. A Riemann-integrál elméletében az integrálfüggvény karakterisztikus tulajdonságai közül az egyik, hogy az integrálfüggvény Lipschitz-függvény.

A Lipschitz-tulajdonság definiálható mind a normált, mind a metrikus terekben. A Lipschitz-függvények elsőrendű Hölder-függvények, így a Hölder-folytonosság a fogalom egy általánosításának tekinthető.

Tulajdonságok

Minden korlátos deriváltú, differenciálható függvény Lipschitz-függvény ( s u p | f ′ | {\displaystyle sup|f'|} alkalmas Lipschitz-konstansnak).

Minden f {\displaystyle f} Lipschitz-tulajdonságú függvény egyenletesen folytonos (így tehát folytonos is), hiszen tetszőleges ε {\displaystyle \varepsilon } pozitív számra a δ := ε / L {\displaystyle \delta :=\varepsilon /L} olyan, hogy ha | x − y | < δ {\displaystyle |x-y|<\delta } , akkor:

| f ( x ) − f ( y ) | ≤ L | x − y | < L ⋅ ε L = ε {\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq L|x-y|<L\cdot {\frac {\varepsilon }{L}}=\varepsilon } .

Visszafelé ez nem igaz. A {\displaystyle } intervallumon értelmezett x ↦ x {\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}} függvény ugyanis egyenletesen folytonos Heine-tétel értelmében, de nem lipschitzes, mert a deriváltja – így a szelők meredeksége – akármilyen nagy lehet.

Injektív minden bilipschitzes függvény, azaz olyan függvény, melyre teljesül, hogy létezik 1 ≤ L {\displaystyle 1\leq L} szám, amivel:

L − 1 ⋅ | x − y | ≤ | f ( x ) − f ( y ) | ≤ L ⋅ | x − y | {\displaystyle L^{-1}\cdot |x-y|\leq |f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|} .

Hiszen ha x ≠ y {\displaystyle x\neq y} , és f ( x ) {\displaystyle f(x)} mégis egyenlő f ( y ) {\displaystyle f(y)} -nal, akkor az egyenlőtlenség miatt L − 1 ⋅ | x − y | ≤ 0 ≤ L ⋅ | x − y | {\displaystyle L^{-1}\cdot |x-y|\leq 0\leq L\cdot |x-y|} és ezt csak az | x − y | = 0 {\displaystyle |x-y|=0} tudja kielégíteni, ami ellentmondás.

Kompakt halmazon értelmezett lokálisan Lipschitz-tulajdonságú függvény (globálisan) Lipschitz-tulajdonságú. (Itt lokálisan lipschitzességen azt értjük, hogy minden pontnak van olyan környezete, ahol a függvény lipschitzes.)

Ha az f {\displaystyle f} egy L {\displaystyle L} Lipschitz-konstansú függvény a (metrikus-, normált-)tér egy részhalmazán van értelmezve, akkor f {\displaystyle f} kiterjeszthető a teljes térre úgy, hogy a kiterjesztés még mindig L {\displaystyle L} Lipschitz-konstansú legyen. Speciálisan az f {\displaystyle f} értelmezési tartományának lezártjára is kiterjeszthető, ahogy az egyenletesen folytonos függvényekre vonatkozó hasonló tételben is ez történik.

Lebesgue tétele szerint minden intervallumon értelmezett valós-valós Lipschitz-függvény majdnem mindenhol differenciálható. Ennek egy általánosítása, hogy tetszőleges, nyílt halmazon értelmezett többváltozós, valós értékű függvény szintén majdnem mindenhol differenciálható – ez Rademacher tétele.

Irodalom

Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis 1., ELTE jegyzet

Külső hivatkozások