Valós értékű függvény

A valós értékű függvény olyan függvény, amelynek értékkészlete a valós számok halmazának részhalmaza. Vagyis olyan függvény, amely az értelmezési tartományának minden eleméhez egy valós számot rendel.

A valós függvények fontossága az általuk alkotott függvényterekben van.

Általános definíciók

Legyen X {\displaystyle X} egy tetszőleges halmaz. Jelölje F ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} az összes olyan függvény halmazát, amelyeknek alaphalmaza X {\displaystyle X} , képhalmazuk pedig a valós számok halmaza, R {\displaystyle \mathbb {R} } . Mivel R {\displaystyle \mathbb {R} } testet alkot, így F ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} egy vektortér:

•   f + g : x ↦ f ( x ) + g ( x ) {\displaystyle \ f+g:x\mapsto f(x)+g(x)} – definiálható a vektorösszeadás
•   0 : x ↦ 0 {\displaystyle \ \mathbf {0} :x\mapsto 0} – létezik additív egységelem
•   c f : x ↦ c f ( x ) , c ∈ R {\displaystyle \ cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in {\mathbb {R} }} – definiálható skalárral való szorzás
•   f g : x ↦ f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \ fg:x\mapsto f(x)g(x)} – és definiálható pontonkénti szorzat.

Mivel R {\displaystyle \mathbb {R} } rendezett halmaz is, így F ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} részbenrendezett halmaz, vagyis:

•   f ≤ g ⟺ ∀ x : f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle \ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x)} .

F ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} részbenrendezett gyűrű.

Mérhetőség

A valós Borel-halmazok által alkotott σ-algebrák fontos jelentőséggel bírnak. Ha X {\displaystyle X} -nek létezik ilyen σ-algebrája és az f {\displaystyle f} függvény olyan, hogy f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)} eleme a σ-algebrának, bármely B {\displaystyle B} Borel-halmazra, akkor f {\displaystyle f} úgynevezett mérhető függvény. A mérhető függvények vektorteret és algebrát is alkotnak, lásd fentebb.

Folytonosság

A valós számok topologikus teret és teljes metrikus teret alkotnak. A folytonos valós értékű függvények fontosak a topologikus és a metrikus terek elméletében. A Weierstrass-szélsőértéktétel szerint bármely kompakt téren értelmezett valós folytonos függvény felveszi globális maximumát és minimumát, vagyis léteznek globális szélsőértékei.

Maga a metrikus tér definíciója is egy valós értékű úgynevezett távolságfüggvényen, a metrikán alapul, amely egy folytonos függvény. A kompakt Hausdorff-téren értelmezett folytonos függvények különösen fontosak. A konvergens sorozatok szintén tekinthetőek valós értékű folytonos függvényeknek egy speciális topologikus tér felett.

A folytonos függvények szintén vektorteret és algebrát alkotnak (lásd fentebb), és a mérhető függvények részhalmazát képezik, mivel bármely topologikus térnek van a nyitott (vagy zárt) részhalmazai által generált σ-algebrája.

== Simaság == {{main|Smooth function}} Real numbers are used as the codomain to define smooth functions. A domain of a real smooth function can be the ] (which yields a ]), a ],<ref>Different definitions of ] exist in general, but for finite ] they result in equivalent definitions of classes of smooth functions.</ref> an ] of them, or a ]. Spaces of smooth functions also are vector spaces and algebras as explained ], and are a subclass of ]. == Appearances in measure theory == A ] on a set is a ] real-valued functional on a σ-algebra of subsets.<ref>Actually, a measure may have values in {{closed-closed|0, +∞}}: see ].</ref> ] on sets with a measure are defined from aforementioned ], although they are actually ]s. More precisely, whereas a function satisfying an appropriate ] defines an element of L^''p'' space, in the opposite direction for any {{math|''f'' ∈ L^''p''(''X'')}} and {{math|''x'' ∈ ''X''}} which is not an ], the value {{math|''f''(''x'')}} is ]. Though, real-valued L^''p'' spaces still have some of the structure explicated ]. Each of L^''p'' spaces is a vector space and have a partial order, and there exists a pointwise multiplication of "functions" which changes {{mvar|p}}, namely :<math>\sdot: L^{1/\alpha} \times L^{1/\beta} \to L^{1/(\alpha+\beta)},\quad 0 \le \alpha,\beta \le 1,\quad\alpha+\beta \le 1.</math> For example, pointwise product of two L² functions belongs to L¹. == Other appearances == Other contexts where real-valued functions and their special properties are used include ]s (on ]s), ]s (on vector and ]s), ] and ] functions (on ]s), ]s (usually of one or more real variables), ]s (on real ]), and ]s (of one or more real variables).

Kapcsolódó szócikkek

• Valós analízis
• A parciális differenciálegyenletek megoldásai lehetnek például valós értékű függvények.
• Norma (matematika)
• Skalár

Jegyzetek

Külső hivatkozások

Real Function Mathworld