Tizedes tört

Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont!
Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját!

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A tizedes tört a valós számok (ℝ), főképp a nem egész számok egyik kanonikus (azaz gyakran alkalmazott és minden szám esetében majdnem teljesen egyértelmű) felírása. A kivételt a véges tizedes törtek alkotják.

Bebizonyítható (például a Cantor-axióma felhasználásával), hogy tetszőleges r valós szám felírható a következő formában:

r = s ⋅ ( 10 m ⋅ z m + 10 m − 1 ⋅ z m − 1 + . . . + 100 ⋅ z 2 + 10 ⋅ z 1 + 1 ⋅ z 0 + 10 − 1 ⋅ t 1 + 10 − 2 ⋅ t 2 + 10 − 3 ⋅ t 3 + . . . ) , {\displaystyle {\begin{aligned}r\,=s\cdot \left(10^{m}\cdot z_{m}\,+\,10^{m-1}\cdot z_{m-1}\,+\,...\,+\,100\cdot z_{2}\,+\,10\cdot z_{1}\,+\,1\cdot z_{0}\,+10^{-1}\cdot t_{1}\,+\,10^{-2}\cdot t_{2}\,+\,10^{-3}\cdot t_{3}\,+\,...\right)\end{aligned}},}

{\begin{aligned}r\,=s\cdot \left(10^{m}\cdot z_{m}\,+\,10^{m-1}\cdot z_{m-1}\,+\,...\,+\,100\cdot z_{2}\,+\,10\cdot z_{1}\,+\,1\cdot z_{0}\,+10^{-1}\cdot t_{1}\,+\,10^{-2}\cdot t_{2}\,+\,10^{-3}\cdot t_{3}\,+\,...\right)\end{aligned}},

avagy

r = s ⋅ ( ∑ i = 0 m 10 i ⋅ z i + ∑ i = 1 ∞ 10 − i ⋅ t i ) , {\displaystyle r\,=\,s\cdot \left(\sum _{i=0}^{m}10^{i}\cdot z_{i}\,+\,\sum _{i=1}^{\infty }10^{-i}\cdot t_{i}\right),}

r\,=\,s\cdot \left(\sum _{i=0}^{m}10^{i}\cdot z_{i}\,+\,\sum _{i=1}^{\infty }10^{-i}\cdot t_{i}\right),

ahol s értéke 0 vagy +1 vagy −1 lehet (ez az r szám előjele); m egy természetes szám; a z és t sorozatok tagjai a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} halmazból valók; zm pedig nem 0, ha m > 0.

A zi és ti számokat a szám számjegyeinek nevezzük (mégpedig tizedesjegyeinek – ugyanis más számrendszerekben is lehetséges a törtszámok felírása). A 10i · zi szorzatok összege |r| egészrésze, a többi, tehát a 10−i · ti szorzatok végtelen összege pedig |r| törtrésze.

Korlátozott egyértelműsége

A fenti forma bármilyen s, z és t jegyek esetén kijelöl egyetlen valós számot, ám ez fordítva nem igaz, azaz egy számhoz több ilyen felírás is tartozhat. Azokat a nem nulla racionális számokat, amelyeknek egyszerűsített törtfelírásában a nevező a 2-n és az 5-ön (a 10 prímosztóin) kívül más prímszámmal nem osztható, kétféleképpen is felírhatjuk. A tizedes tört egyik lehetséges formájában egy bizonyos helyi érték után csupa 0, a másik formájában csupa 9-es áll. Például:

3 4 = 0 , 75 = 0 , 750000... = 0 , 749999... {\displaystyle {\frac {3}{4}}=0,\!75=0,\!750000...=0,\!749999...}

{\frac {3}{4}}=0,\!75=0,\!750000...=0,\!749999...

Ha megköveteljük, hogy ne lehessen valamely helyi érték után csupa 9-es a felírásban, akkor már minden szám esetén egyértelmű lesz a felírás. Az ilyen racionális számok felírásában tehát valamely helyi érték után csupa 0 szerepel, amit már nem szokás kiírni. Az ilyen tizedes törtet pedig véges tizedes törtnek nevezik. Ha mégis kiírnak valahány 0-t a tizedes tört végére, akkor az az érték pontosságát mutatja.

Ha egy bizonyos helyi érték után a tizedesjegyek periodikusan, azaz szakaszosan ismétlődnek, akkor szakaszosan ismétlődő végtelen tizedes törtről, egyébként pedig nem szakaszos vagy aperiodikus tizedes törtről beszélünk.

A véges, valamint a végtelen szakaszosan ismétlődő tizedes törtek a racionális számoknak, míg a végtelen, szakaszosan nem ismétlődő tizedes törtek az irracionális számoknak felelnek meg.

Példák

Néhány nemnegatív szám tizedestört-alakja (a * azt jelzi, hogy a tizedes tört a megfelelő küszöbtől kezdve periodikus, periódusa a *-ok közti szakasz; a véges tizedes törtek *0* periódusait nem szoktuk kiírni, sem pedig a 0 törtrészű számok törtrészét):

Szám	Rövid tizedestört-alak	Teljes tizedestört-alak
0	0	0,0
1	1	1,0
10	10	10,0
1/10	0,1	0,10
1/100	0,01	0,010
1/1000	0,001	0,0010
1/2	0,5	0,50
1/4	0,25	0,250
1/8	0,125	0,1250
1/3	0,33…	0,3
2/3	0,66…	0,6
1/5 = 2/10	0,2	0,20
1/6	0,166…	0,16
5/7	0,714285…	0,714285
π	3,141592…	3,141592…

Műveletek tizedes törtekkel

Véges tizedes törtekkel ugyanúgy lehet számolni, mint az egészekkel, egyedül a tizedesvessző helyére kell ügyelni. A végtelen (akár periodikus) tizedestört-alakokkal való számolás azonban már bonyolultabb, ezzel a határértékszámítást felhasználva a matematikai analízis sorelmélet nevű része foglalkozik. A végtelen tizedes törtek ugyanis tekinthetők végtelen sorozatok határértékének.

Számolás végtelen konvergens sorozatokkal

Szorzás. Legyen an és bn két konvergens sorozat, jelölje ezek határértékét rendre α és β. Ekkor anbn is konvergál, mégpedig éppen αβ-hoz.

Bizonyítás: Meg kell mutatnunk, hogy | a n b n − α β | {\displaystyle |a_{n}b_{n}-\alpha \beta |} $|a_{n}b_{n}-\alpha \beta |$ akármilyen kicsi lehet.

Átalakítjuk egy kicsit az a n b n − α β {\displaystyle a_{n}b_{n}-\alpha \beta } $a_{n}b_{n}-\alpha \beta$ képletet:

a n b n − α β = a n b n − a n β + a n β − α β = a n ( b n − β ) + ( a n − α ) β {\displaystyle a_{n}b_{n}-\alpha \beta =a_{n}b_{n}-a_{n}\beta +a_{n}\beta -\alpha \beta =a_{n}(b_{n}-\beta )+(a_{n}-\alpha )\beta } $a_{n}b_{n}-\alpha \beta =a_{n}b_{n}-a_{n}\beta +a_{n}\beta -\alpha \beta =a_{n}(b_{n}-\beta )+(a_{n}-\alpha )\beta$

A háromszög-egyenlőtlenséggel:

| a n ( b n − β ) + ( a n − α ) β | ⩽ | a n ( b n − β ) | + | ( a n − α ) β | = | a n | | b n − β | + | a n − α | | β | {\displaystyle |a_{n}(b_{n}-\beta )+(a_{n}-\alpha )\beta |\leqslant |a_{n}(b_{n}-\beta )|+|(a_{n}-\alpha )\beta |=|a_{n}||b_{n}-\beta |+|a_{n}-\alpha ||\beta |} $|a_{n}(b_{n}-\beta )+(a_{n}-\alpha )\beta |\leqslant |a_{n}(b_{n}-\beta )|+|(a_{n}-\alpha )\beta |=|a_{n}||b_{n}-\beta |+|a_{n}-\alpha ||\beta |$

Legyen ε tetszőleges pozitív szám, r pedig nagyobb |β|-nál és az |an| sorozat felső korlátjánál is. (Vagyis r > |β| és r > |an|, minden n-re. Minthogy an konvergens, ilyen r létezik és pozitív.)

an konvergál α-hoz, ezért van olyan n1, hogy minden n1-nél nagyobb n-re | a n − α | < ϵ / ( 2 r ) {\displaystyle |a_{n}-\alpha |<\epsilon /(2r)} $|a_{n}-\alpha |<\epsilon /(2r)$ .

Hasonlóan, bn konvergál β-hoz, ezért van olyan n2, hogy minden n2-nél nagyobb n-re | b n − β | < ϵ / ( 2 r ) {\displaystyle |b_{n}-\beta |<\epsilon /(2r)} $|b_{n}-\beta |<\epsilon /(2r)$ .

Minden olyan n-re, amely n1-nél és n2-nél is nagyobb:

| a n | | b n − β | + | a n − α | | β | ⩽ ( r ) ( ϵ / ( 2 r ) ) + ( ϵ / ( 2 r ) ) ( r ) = ϵ / 2 + ϵ / 2 = ϵ {\displaystyle |a_{n}||b_{n}-\beta |+|a_{n}-\alpha ||\beta |\leqslant (r)(\epsilon /(2r))+(\epsilon /(2r))(r)=\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon } $|a_{n}||b_{n}-\beta |+|a_{n}-\alpha ||\beta |\leqslant (r)(\epsilon /(2r))+(\epsilon /(2r))(r)=\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon$

Ez pedig éppen azt jelenti, amit bizonyítani akartunk, vagyis hogy a sorozatok elemenként vett szorzatának határértéke a határértékek szorzata.

A többi művelet hasonlóan bizonyítható.

Eszerint lehet úgy közelíteni a számítások eredményét, hogy a két közelítő sorozattal számolunk, és a kapott sorozatnak vesszük a határértékét. Bizonyos esetekben nem kell végtelen sorozatokat használni; ha van képlet a végtelen sorozatokra, akkor a számolásnak a pontos eredménye is megkapható.

A végtelen aktualitása

A végtelen tizedes törtekkel való számolás definíciója felveti a végtelen aktualitásának kérdését. Ez egy bonyolult metamatematikai kérdés, ami azt feszegeti, hogy a végtelen sok lépésben megkonstruált matematikai objektumok valóban létezőknek tekinthetők-e, vagy csak a konstrukciójuk létezik. Általában az axiómák aktuálisnak veszik a végtelent, de vannak alternatív matematikai rendszerek, amik másként állnak ehhez a kérdéshez. Azonban, amennyiben nem tekintjük aktuálisnak a végtelent, nemcsak hogy nem aktuálisak a műveletek, hanem maguk a végtelen tizedes törtek sem azok.

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!