Sylvester tehetetlenségi tétele

A lineáris algebrában Sylvester tehetetlenségi tétele kijelentéseket tesz bilineáris formák együtthatómátrixairól, és azt állítja, hogy bizonyos tulajdonságok bázisváltás hatására sem tűnnek el.

A tételt J. J. Sylvester brit matematikusról nevezték el.

Legyen ${\displaystyle V}$ véges dimenziós komplex vektortér, és legyen ${\displaystyle s\colon V\times V\rightarrow \mathbb {C} }$ hermitikus szeszkvilineáris forma. Ekkor a ${\displaystyle V_{0}}$ elfajulási tér

${\displaystyle V_{0}:=\{v\in V:(\forall w\in V)\,s(v,w)=0\}}$.

A tétel kimondja, hogy előáll a

${\displaystyle V=V_{+}\oplus V_{-}\oplus V_{0}}$

direkt összeg, ahol ${\displaystyle s(v,v)>0}$ minden ${\displaystyle v\in V_{+}\setminus \{0\}}$ vektorra, és hasonlóan ${\displaystyle s(v,v)<0}$ minden ${\displaystyle v\in V_{-}\setminus \{0\}}$ vektorra.

Ez azt is jelenti, hogy választható bázis ${\displaystyle V}$-ben úgy, hogy az ${\displaystyle s}$ hermitikus szeszkvilineáris formát ábrázoló ${\displaystyle A}$ mátrix diagonális legyen:

${\displaystyle A:={\begin{pmatrix}1&0&0&0&\ldots &0&0&\ldots &0\\0&\ddots &0&&&&&&\vdots \\0&0&1&0&&&&&0\\0&&0&-1&0&&&&0\\\vdots &&&0&\ddots &0&&&\vdots \\0&&&&0&-1&0&&0\\0&&&&&0&0&0&0\\\vdots &&&&&&0&\ddots &0\\0&\ldots &0&0&\ldots &0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Továbbá ennek a mátrixnak a főátlóján csak az 1, –1 és 0 számok fordulnak elő, és a főátlón kívül minden elem nulla.^[1]

Ha ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ szimmetrikus mátrix, és ${\displaystyle S\in GL(n,\mathbb {R} )}$ invertálható mátrix, akkor a tételből következik, hogy ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle S^{T}AS}$ pozitív és negatív sajátértékei multiplicitással megegyeznek. Ez nem triviális, hiszen egy négyzetes mátrix sajátértékei csak az ${\displaystyle S^{-1}AS}$ transzformációra invariánsak, nem pedig ${\displaystyle S^{T}AS}$-ra.

A tétel nem teljesül hermitikus bilineáris formákra.

Legyenek most az ${\displaystyle V_{+}}$, ${\displaystyle V_{-}}$ és ${\displaystyle V_{0}}$ alterek definiálva, mint korábban. Ekkor a tételből következik, hogy az

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{+}(s)&:=\dim(V_{+}),\\r_{-}(s)&:=\dim(V_{-}){\text{ és}}\\r_{0}(s)&:=\dim(V_{0})\end{aligned}}}$

számok invariánsak az ${\displaystyle s\colon V\times V\rightarrow \mathbb {C} }$ hermitikus szeszkvilineáris formákra. Így például

${\displaystyle r_{+}(s)=\max\{\dim(W):W\subseteq V}$ altér és ${\displaystyle (\forall w\in W\setminus \{0\})\,s(w,w)>0\}}$. Hasonló teljesül ${\displaystyle r_{-}(s)}$-re is. A direkt felbontásból következik az ${\displaystyle r_{+}(s)+r_{-}(s)+r_{0}(s)=\dim(V)}$ egyenlőség is. Az ${\displaystyle \sigma (s):=\left(r_{+}(s),r_{-}(s),r_{0}(s)\right)}$ hármast nevezik tehetetlenségi indexnek vagy (Sylvester)-szignatúrának is.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Trägheitssatz von Sylvester című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14., durchgesehene Auflage. (Vieweg, Wiesbaden, 2003) ISBN 3-528-03217-0.