Ma a Rendszám (halmazelmélet)-ről szeretnék beszélni. Ez a téma ma rendkívül aktuális, hiszen jelentős hatással van az emberek életére. A Rendszám (halmazelmélet) évek óta vita és elemzés tárgya, megosztott véleményeket generálva a szakértők és általában a társadalom körében. Emiatt tartom fontosnak, hogy mélyebben elmélyüljünk ebben a témában, hogy jobban megértsük jelentőségét és lehetséges kihatásait a különböző területeken. Ebben a cikkben a Rendszám (halmazelmélet)-hez kapcsolódó különböző perspektívákat és bizonyítékokat fogjuk megvizsgálni, hogy átfogó képet adjunk a Rendszám (halmazelmélet) alkalmazási köréről és jelentőségéről.
A rendszám a halmazelmélet egyik alapfogalma.
Egymással izomorf jólrendezett halmazok közös tulajdonságát nevezzük rendszámnak. Azaz, minden jólrendezett halmaznak van rendszáma és két jólrendezett halmaz rendszáma pontosan akkor azonos, ha izomorfak.
Rendszámok rendezése: azt mondjuk, hogy az α rendszám kisebb a β rendszámnál (jelben α<β), ha a következő igaz: ha (A,<) egy α rendszámú jólrendezett halmaz, (B,<) egy β rendszámú jólrendezett halmaz, akkor (A,<) izomorf (B,<) egy elem által alkotott kezdőszeletével. Erre a relációra a következő tulajdonságok teljesülnek:
A rendszámokat a náluk kisebb rendszámok A halmaza alapján osztályozzuk.
Minden véges (nem nulla) rendszám rákövetkező rendszám. A legkisebb limeszrendszám a szokásos rendezéssel ellátott természetes számok rendszáma; jele az ω.
az összeadandó rendszámok reprezentáns halmazait egymás mögé írjuk.
Formálisan: ha jólrendezett halmazok jólrendezett sorozata, akkor az halmazon a lexikografikus rendezés (, ha ) jólrendezés; ennek rendszámát nevezzük rendszámai összegének.
Ebből következik, hogy a rendszámok összeadása nem kommutatív, hiszen . Ez onnan látható hogy az előbbi rendszámnak megfelelő halmazban van legnagyobb elem, míg az utóbbinak megfelelőben nincs. (Mellesleg .)
hiszen akkor ez az R halmaz jólrendezett lenne, lenne egy α rendszáma, ami eleme lenne R-nek és egyenlő lenne R nála kisebb elemei halmazának rendszámával, ami kisebb, mint R-é – ellentmondás.
Definiáljuk a rendszámokat transzfinit rekurzióval, a nála kisebb rendszámok halmazaként. Ily módon minden rendszám halmaz, mégpedig olyan, amit az reláció jólrendez, és minden rendszám rendszáma saját maga. Az első néhány rendszám: , , , …
Valójában nem definiálhatjuk a rendszámokat transzfinit rekurzióval, mert ahhoz, hogy az működjön, már szükség van rendszámokra, tehát fölhasználnánk őket önmaguk definiálásához.
Ezért kerülő úton kell definiálni a Neumann-féle halmazokat:
Egy X halmazt Neumann-rendszámnak nevezünk, ha
Az így definiált Neumann-rendszámok ugyanazok, mint amiket transzfinit rekurzióval építenénk föl. Azt, hogy ez megfelelő rendszámdefiníció, a következő tétel garantálja: Minden jólrendezett halmazhoz egyértelműen létezik vele izomorf Neumann-rendszám.