Poisson-eloszlás

A valószínűségszámításban és a statisztikában a Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, a binomiális eloszlás határeloszlása. Kifejezi az adott idő alatt ismert valószínűséggel megtörténő események bekövetkezésének számát (például: egy telefonközpontba adott időszakban és időtartamban beérkezett telefonhívások száma, vagy egy radioaktív anyag adott idő alatt elbomló atomjainak száma).

Nevét Siméon Denis Poissonról kapta, aki felfedezte, és valószínűségszámítási munkájában (Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile) publikálta. Az eloszlás első közismert alkalmazása a porosz hadseregben lórúgástól meghalt katonák számának leírása volt (Ladislaus von Bortkiewicz: Das Gesetz der kleinen Zahlen („A kis számok törvénye”), 1898) Archiválva 2010. március 13-i dátummal a Wayback Machine-ben ).

Definíció

Az X valószínűségi változó λ paraméterű Poisson-eloszlást követ – vagy rövidebben: Poisson-eloszlású – pontosan akkor, ha

P ( X = k ) = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , 2 , . . . {\displaystyle \mathbf {P} (X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda },\quad k=0,1,2,...\quad }

ahol λ > 0 konstans.

A Poisson-eloszlást jellemző függvények

Karakterisztikus függvénye

φ ( t ) = e λ e i t − λ = exp ⁡ = e λ e z − λ = exp ⁡ {\displaystyle \varphi (t)=e^{\lambda e^{it}-\lambda }=\exp=e^{\lambda e^{z}-\lambda }=\exp\,}

A Poisson-eloszlást jellemző számok

Várható értéke

E ( X ) = λ {\displaystyle \mathbf {E} (X)=\lambda } .

Szórása

D ( X ) = λ {\displaystyle \mathbf {D} (X)={\sqrt {\lambda }}} .

Momentumai

Harmad- és negyedrendű centrált momentumai E = λ {\displaystyle \mathbf {E} =\lambda } E = λ + 3 λ 2 {\displaystyle \mathbf {E} =\lambda +3\lambda ^{2}}

Ferdesége

β 1 ( X ) = λ − 1 / 2 {\displaystyle \beta _{1}(X)=\lambda ^{-1/2}\,}

Lapultsága

β 2 ( X ) = λ − 1 {\displaystyle \beta _{2}(X)=\lambda ^{-1}\,}

Poisson-eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága

Források

További információk