Módusz

A módusz egy sorozat (általában egy statisztikai minta értékei) leggyakrabban előforduló eleme.

A statisztikai középérték-mutatók (medián, módusz, számtani közép, harmonikus közép, mértani közép, négyzetes közép) egyike, amely fontos információt hordoz egy valószínűségi változóról illetve egy statisztikai sokaságról egyetlen értékben. A módusz általában különbözik az átlagtól és a mediántól, továbbá lényegesen eltérhet azoktól erősen aszimmetrikus eloszlások esetén.

A módusz nem feltétlenül egyértelmű, mivel ugyanazt a maximum gyakoriságot több különböző érték is elérheti. A legszélsőségesebb esetek az úgynevezett egyenletes eloszlások, ahol minden érték egyformán valószínű.

A kifejezés egyaránt használatos a matematikában a valószínűség-eloszlásoknál és a statisztikai mintáknál, valamint a fizikában.

Valószínűségi változó módusza

A „legdivatosabb”, legvalószínűbb érték: egy folytonos valószínűség-eloszlás jellemző adata: olyan pont, ahol az eloszlás sűrűségfüggvényének lokális maximuma van. Egy eloszlásnak tehát több módusza is lehet. Az egyetlen móduszú (unimodális) eloszlások esetében a móduszt az eloszlás centrumát jellemző adatként használjuk. – Szimmetrikus unimodális eloszlások esetében a módusz megegyezik a mediánnal és a várható értékkel is, feltéve, hogy ez létezik. Aszimmetrikus eloszlásoknál hasznos lehet a módusz, a medián és a várható érték relatív helyzetének mint az eloszlás jellemző tulajdonságának vizsgálata.

Statisztikai minta módusza

A módusz – a számtani középhez és a mediánhoz hasonlóan – helyzeti középérték. A módusz nem mindig határozható meg és nem is mindig létezik.

Diszkrét valószínűségi változóból származó minta esetén

A minta leggyakrabban előforduló értéke vagy értékei.

Például

Egy folyamatos üzemben feljegyezték az óránkénti gépleállások számát 24 órán keresztül és a következő értékeket kapták:

Óra	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Leállások száma	5	3	1	2	0	3	4	5	2	6	1	1	4	0	2	3	2	0	2	3	1	4	1	6

Az áttekinthetőség végett a fenti értékeket egy gyakorisági táblázatba rendezve láthatjuk, hogy két érték is szerepel móduszként: az óránkénti gépleállások száma 5 alkalommal volt 1 és 5 alkalommal 2, tehát mindkét érték móduszként szerepel, vagy másként a módusz nem határozható meg egyértelműen.

leállások száma óránként	az előfordulások gyakorisága (fi)	relatív gyakoriság (gi)
0	3	0,125
1	5	0,208
2	5	0,208
3	4	0,168
4	3	0,125
5	2	0,083
6	2	0,083
Összesen	24	1,000

Folytonos valószínűségi változóból származó minta esetén

A módusz a gyakorisági görbe maximum helye, amely az osztályközös gyakorisági sorból becsülhető. A móduszt mindig az az osztályköz tartalmazza, amelyikhez a hisztogram legmagasabb oszlopa tartozik.

Osztályközös gyakorisági sor esetén a következő képlettel becsülhetjük a móduszt:

M o = x m o , 0 + f m o − f m o − 1 f m o − f m o − 1 + f m o − f m o + 1 ⋅ h m o {\displaystyle Mo=x_{mo,0}+{\frac {f_{mo}-f_{mo-1}}{f_{mo}-f_{mo-1}+f_{mo}-f_{mo+1}}}\cdot h_{mo}}

Mo=x_{mo,0}+{\frac {f_{mo}-f_{mo-1}}{f_{mo}-f_{mo-1}+f_{mo}-f_{mo+1}}}\cdot h_{mo}

x m o , 0 {\displaystyle x_{mo,0}} $x_{mo,0}$ : a módusz osztályközének alsó határa

f m o {\displaystyle f_{mo}} $f_{mo}$ : a módusz osztályközének gyakorisága

f m o − 1 {\displaystyle f_{mo-1}} $f_{mo-1}$ : a móduszt megelőző osztályköz gyakorisága

f m o + 1 {\displaystyle f_{mo+1}} $f_{mo+1}$ : a móduszt követő osztályköz gyakorisága

h m o {\displaystyle h_{mo}} $h_{mo}$ : a módusz osztályközének hossza

a módusz osztályköze: az az osztályköz, ahol f i {\displaystyle f_{i}} $f_{i}$ a legnagyobb

A képlet csak egyenlő hosszúságú osztályközök esetén érvényes, ellenkező esetben f i {\displaystyle f_{i}} $f_{i}$ helyett f i h i {\displaystyle {\frac {f_{i}}{h_{i}}}} ${\frac {f_{i}}{h_{i}}}$ használata szükséges.

Kapcsolódó szócikkek

Hivatkozások

↑ Hunyadi László, Vita László. Statisztika közgazdászoknak. Budapest: Központi Statisztikai Hivatal (2002)