Kardinális szám

A különféle végtelenekkel szembesülve Georg Cantor (1845–1918) orosz születésű német matematikus bevezette a (szám)halmazokra vonatkozó kardinális szám fogalmát, ezzel tett különbséget közöttük.

Egy halmaz kardinális száma, más szóval számossága nagyjából azonos az elemszámával. Például az {a, b, c, d, e} halmaznak 5 a kardinális száma, mivel 5 eleme van.

Cantor a Z halmaz kardinális számát ${\displaystyle \aleph _{0}}$-lal (alef-null) jelölte (az alef a héber ábécé első betűje). Az ${\displaystyle \aleph _{0}}$ változatlanul használatos azóta, hogy Cantor bevezette.

Az R halmaz kardinális számát ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$-vel (gót c betűvel, a latin continuum szó rövidítéseként) jelöljük.

Mivel N végtelensége alacsonyabb rendű, mint R-é, ezért fennáll, hogy ${\displaystyle \aleph _{0}}$ < ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$.

Van kardinális szám ${\displaystyle \aleph _{0}}$ és ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ között?

A hagyományos aritmetikában két tört között mindig van egy közbülső harmadik. Ha csak egész számok közötti egyenlőtlenségekre szorítkozunk, akkor nem szúrhatunk be közéjük mindig egy harmadik számot: pl. 2<3, közöttük nincs másik egész szám.

A kontinuumhipotézis szerint nincs kardinális szám ${\displaystyle \aleph _{0}}$ és ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ között, más szóval az ${\displaystyle \aleph _{0}}$ után ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ a "következő" kardinális szám. Cantor megpróbálta bebizonyítani a kontinuumhipotézist, de sokévi próbálkozás után sem járt sikerrel.

Kurt Gödel úgy gondolta, hogy ez a hipotézis hamis, de neki sem sikerült egyedül a bizonyításig eljutnia, végül az amerikai Paul Cohennel együtt bebizonyították: a halmazelmélet szokásos keretei között a kontinuumhipotézist sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehet. Ezt úgy is szokták mondani, hogy a kontinuumhipotézis független a halmazelméletet leíró szokásos axiómáktól.

Ez egy bizonyos határpont volt. Addigra kiderült, hogy sok különféle típusú geometria létezik. A kontinuumhipotézis függetlensége rávilágított, hogy halmazelméletből is többféle létezhet.

• Tony Crilly: Nagy kérdések, Matematika. (hely nélkül): Geographia Kiadó. 2007. 62–63. o.  

• Kontinuumhipotézis
• Halmazelmélet
• Cantor-paradoxon
• Cantor-tétel
• Átlós eljárás
• Geometria
• Axióma
• Az aritmetika alapjai

• A végtelenen túl, YOUPROOF
• http://www.mimi.hu/matematika/szamossag.html Archiválva 2012. január 18-i dátummal a Wayback Machine-ben ^{[Tiltott forrás?]}
• http://sdt.sulinet.hu/Player/Default.aspx?g=65a095ea-35dc-47db-9428-a01855ad1284&cid=fc131705-2f72-49bc-ab40-f83953455a25^{[halott link]}