0,999 ...



Az összes tudás, amelyet az emberek az évszázadok során felhalmoztak 0,999 ...-ről, most már elérhető az interneten, és mi a lehető legkönnyebben hozzáférhető módon összegyűjtöttük és rendszereztük az Ön számára. Szeretnénk, ha gyorsan és hatékonyan hozzáférhetne mindenhez, amit a 0,999 ...-ről tudni szeretne; hogy a látogatás élményszerű legyen, és hogy úgy érezze, valóban megtalálta a keresett információt a 0,999 ...-ről.

Céljaink elérése érdekében nemcsak arra törekedtünk, hogy a 0,999 ...-ről a legfrissebb, legérthetőbb és legigazabb információkat szerezzük be, hanem arra is, hogy az oldal kialakítása, olvashatósága, betöltési sebessége és használhatósága a lehető legkellemesebb legyen, hogy Ön a lényegre, a 0,999 ...-ről elérhető összes adat és információ megismerésére koncentrálhasson, és ne kelljen semmi mással foglalkoznia, erről már gondoskodtunk Ön helyett. Reméljük, hogy elértük a célunkat, és hogy megtalálta a kívánt információt a 0,999 ...-ről. Üdvözöljük Önt, és arra biztatjuk, hogy továbbra is élvezze a scientiahu.com használatának élményét.

A matematika , 0,999 ... (ként is írnak 0. 9 , az ismétld tízes számrendszerben ) jelöli ismétld tizedes amely egy végtelen szekvenciájának 9s után tizedespont . Ez az ismétld tizedes a legkisebb számot jelenti, nem kevesebbet, mint a sorozat minden tizedes száma (0,9, 0,99, 0,999, ...). Ez a szám egyenl 1. Más szóval: "0,999 ..." és "1" ugyanazt a számot jelöli. Ennek az egyenlségnek számos módja van az intuitív érvektl a matematikailag szigorú bizonyításig . Az alkalmazott technika a célközönségtl, a háttérfeltételezésektl, a történelmi kontextustól és a valós számok preferált fejldésétl függ , attól a rendszertl, amelyen belül 0,999 ... általánosan meghatározott. (Más rendszerekben a 0.999 ... jelentése ugyanaz, értelmezése eltér lehet, vagy meghatározhatatlan.)

Általánosságban elmondható, hogy minden nem zéró vég tizedes tizedesnek két egyenl ábrázolása van (például 8.32 és 8.31999 ...), ami az összes pozíciós számrendszer -ábrázolás tulajdonsága , bázistól függetlenül . A megszüntet tizedes ábrázolás haszonelv preferenciája hozzájárul ahhoz a tévhithez, hogy ez az egyetlen ábrázolás. Emiatt és más okok miatt-például a nem elemi technikákra, tulajdonságokra vagy tudományágakra támaszkodó szigorú bizonyításokkal-egyesek eléggé ellentétesnek találhatják az egyenlséget ahhoz , hogy megkérdjelezzék vagy elutasítsák. Ez több matematikaoktatási tanulmány tárgya volt .

Elemi bizonyíték

Az archimédészi tulajdonság : a célvonal eltt lév x pont két pont között helyezkedik el (beleértve).

Van egy elemi bizonyíték a 0.999 ... = 1 egyenletre , amely csak a (véges) tizedes számok összehasonlításának és összeadásának matematikai eszközeit használja , anélkül, hogy utalnánk a fejlettebb témákra, például sorozatokra , korlátokra , valós számok formai felépítésére stb a bizonyítás, a gyakorlat által adott Stillwell (1994 , 42. o.), a közvetlen hivatalossá az intuitív, hogy ha az egyik rajzát 0,9, 0,99, 0,999, stb a számegyenesen nincs hely maradt számot helyezve közéjük és 1. A 0.999 jelölés jelentése ... a legkisebb pont a számegyenesen, amely jobbra fekszik a 0.9, 0.99, 0.999 stb. számoktól, mert végs soron nincs hely 1 között. és ezek a számok, az 1 pontnak ez a legkisebb pontnak kell lennie, és így 0,999 ... = 1 .

Intuitív magyarázat

Ha valaki 0,9, 0,99, 0,999 stb. Helyét helyezi el a számegyenesen , azonnal látja, hogy ezek a pontok az 1 -tl balra vannak, és egyre közelebb kerülnek az 1 -hez.

Pontosabban a 0,9 és 1 közötti távolság 0,1 = 1/10 , a 0,99 és 1 közötti távolság 0,01 = 1/10 2 stb. Az n -edik ponttól 1 -ig terjed távolság ( a tizedespont utáni n 9 -gyel) 1/10 n .

Ezért ha az 1 nem lenne a legkisebb szám nagyobb, mint 0,9, 0,99, 0,999 stb., Akkor a számegyenesen egy pont lenne, amely 1 és mindezek között helyezkedik el. Ez a pont lenne egy pozitív távolság 1, amely kisebb, mint 1/10 n minden egész szám n . A standard számrendszerekben (a racionális számok és a valós számok ) nincs pozitív szám, amely 1 n -nél kisebb lenne minden n esetében . Ez az (egyik változata) az archimedesi tulajdonságnak , amely bizonyítottan megvan a racionális számok rendszerében. Ezért 1 a legkisebb szám, amely nagyobb, mint az összes 0,9, 0,99, 0,999, stb, és így 1 = 0.999 ... .

Vita a teljességrl

Ennek az érvnek az a része, hogy a sorozat legkisebb fels határa 0,9, 0,99, 0,999 stb.: A legkisebb szám, amely nagyobb, mint a sorozat minden tagja. Az egyik axiómák a valós szám rendszer a teljesség axiómája , amely kimondja, hogy minden korlátos sorozatnak van egy legalább fels határa. Ez a legkisebb fels korlát az egyik módja a végtelen tizedes kiterjesztések meghatározásának: a végtelen tizedes által képviselt valós szám a véges csonkítások legkisebb fels határa. Az érvnek itt nem kell a teljességet feltételeznie, hogy érvényes legyen, mert azt mutatja, hogy ennek a racionális számoknak az adott sorozata valójában rendelkezik egy legkisebb fels határral, és ez a legkisebb fels korlát egyenl.

Szigorú bizonyíték

Az elz magyarázat nem bizonyíték, mivel nem lehet megfelelen definiálni a szám és a számegyenesben való ábrázolása közötti kapcsolatot. A bizonyítás pontossága érdekében a 0.999 ... 9 számot , tizedespont után n kilenc számmal jelöljük 0. (9) n . Így 0. (9) 1 = 0.9 , 0. (9) 2 = 0.99 , 0. (9) 3 = 0.999 stb. Mivel 1/10 n = 0,0 ... 01 , n számjegy a tizedespont után, a tizedes számok összeadási szabálya

és

minden pozitív egész számra n .

Meg kell mutatni, hogy 1 a legkisebb szám, amely nem kevesebb, mint mind a 0. (9) n . Ehhez elegend annak bizonyítása, hogy ha egy x szám nem nagyobb 1 -nél és nem kevesebb, mint mind a 0. (9) n , akkor x = 1 . Tehát legyen x ilyen

minden pozitív egész számra n . Ezért,

amely az alapvet számtanokat és a fentebb megállapított els egyenlséget alkalmazva arra egyszersödik

Ez azt jelenti, hogy az 1 és x közötti különbség kisebb, mint bármely pozitív egész szám inverze. Ennek a különbségnek tehát nullának kell lennie, és így x = 1 ; vagyis

Ez a bizonyítás arra a tényre támaszkodik, hogy a nulla az egyetlen nemnegatív szám , amely kisebb, mint az egész számok inverze, vagy ezzel egyenérték, hogy nincs olyan szám, amely nagyobb, mint minden egész szám. Ez az Archimedesi tulajdonság , amelyet a racionális és valós számok esetében ellenriznek . Valós számok bvülhet a számrendszer , például hiperreális számok , végtelen kis számok ( végtelen kis ) és végtelenül nagy számok ( végtelen számú ). Ilyen rendszerek használatakor a 0.999 ... jelölést általában nem használják, mivel nincs olyan legkisebb szám, amely nem kevesebb, mint az összes 0. (9) n . (Erre utal az a tény, hogy 0. (9) n x <1 azt jelenti, hogy 0. (9) n 1 2 x - 1 < x <1 ).

Algebrai érvek

Az egyenlség túlságosan leegyszersített illusztrációinak kérdése pedagógiai vita és kritika tárgya. Byers (2007 , 39. o.) Tárgyalja az érvet, miszerint az általános iskolában, az egyik azt tanították, hogy 1 / 3 = 0,333 ... , így, figyelmen kívül hagyva minden lényeges finomságok megszorozva ez személyazonosságát 3 ad 1 = 0.999 .. . . Továbbá azt mondja, hogy ez az érv nem meggyz, mivel az egyenl jel értelme nem tisztázott ; egy diák azt gondolhatja: "Ez biztosan nem jelenti azt, hogy az 1 -es szám megegyezik azzal, amit a 0.999 ... jelölés jelent ." A legtöbb egyetemi matematika szak, amellyel Byers találkozott, úgy érzi, hogy míg 0,999 ... "nagyon közel van" az 1 -hez ezen érv erejével, néhányan még azt is mondják, hogy "végtelenül közel", nem hajlandók azt mondani, hogy egyenl az 1. Richman (1999) bemutatja, hogy miként ez az érv kapta er az a tény, hogy a legtöbb ember már oltották, hogy elfogadja az els egyenletben gondolkodás nélkül, hanem arra is utal, hogy az érvelés vezethet szkeptikusok megkérdjelezni ezt a feltételezést.

Byers a következ érvet is bemutatja. Hagyja

Azok a diákok, akik nem fogadták el az els érvet, néha elfogadják a második érvet, de Byers véleménye szerint még mindig nem oldották fel a kétértelmséget, és ezért nem értik a végtelen tizedesjegyek ábrázolását. Peressini és Peressini (2007) ugyanezt az érvet bemutatva azt is kijelenti, hogy nem magyarázza az egyenlséget, jelezve, hogy egy ilyen magyarázat valószínleg magában foglalja a végtelenség és a teljesség fogalmát . Baldwin és Norton (2012) , idézi Katz & Katz (2010a) , amellett, hogy a kezelés az identitás alapján az ilyen érvek, mivel ezek nélkül a hivatalos koncepció egy limit, korai.

Ugyanez az érv is adott Richman (1999) , aki megjegyzi, hogy a szkeptikusok is kérdés, hogy x is mondható  - vagyis az, hogy érdemes kivonni x mindkét oldalról.

Elemz bizonyítékok

Mivel a 0,999 ... kérdése nem befolyásolja a matematika formális fejldését, el lehet halasztani mindaddig, amíg be nem bizonyítja a valós elemzés standard tételeit . Az egyik követelmény a tizedesjegyekkel írható valós számok jellemzése, amelyek egy választható eljelbl, egy egész számot alkotó egy vagy több számjegybl álló véges sorozatból, egy tizedes elválasztóból és egy törtrészbl álló számjegybl állnak. A 0.999 ... tárgyalása céljából az egész rész b 0 -ként foglalható össze, és elhanyagolhatjuk a negatívokat, így a tizedes bvítés formája

A törtrész az egész számmal ellentétben nem korlátozódik véges sok számjegyre. Ez egy helymegjelölés , így például az 500 -ból 5 -ös számjegy tízszer annyival járul hozzá, mint az 5 az 50 -bl, és az 5 -ös 0,05 -bl egytizede annyit, mint az 5 -ös a 0,5 -bl.

Végtelen sorozatok és sorozatok

A tizedes kiterjesztések gyakori fejleménye, hogy végtelen sorozatok összegeiként határozzák meg ket . Általánosságban:

0,999 ... esetén alkalmazható a geometriai sorozatokra vonatkozó konvergencia tétel :

Ha akkor

Mivel 0,999 ... egy ilyen összeg, a = 9 és közös aránya r = 1 10 , a tétel röviden megválaszolja a kérdést:

Ez a bizonyíték tnik, már 1770 in Leonhard Euler s Elements Algebra .

Korlátok: Az egységintervallum, beleértve a bázis-4 törtsorozatot (.3, .33, .333, ...) 1-re konvergálva.

Egy geometriai sorozat összege még Eulernél is régebbi eredmény. Egy tipikus 18. századi levezetés a fent megadott algebrai bizonyításhoz hasonló, terminusonkénti manipulációt használt , és még 1811-ben Bonnycastle Bevezetés az algebrába cím tankönyve ilyen érvet használ a geometriai sorozatokra, hogy igazolja ugyanazt a manvert 0.999-en. A 19. századi reakció az ilyen liberális összegzési módszerek ellen a ma is meghatározó meghatározást eredményezte: egy sorozat összegét úgy határozták meg , hogy a részösszegek sorrendjének határa. A tétel megfelel bizonyítása kifejezetten kiszámítja ezt a sorozatot; megtalálható a kalkulusok vagy elemzések bármely bizonyítékokon alapuló bevezetjében.

Egy sorozatnak ( x 0 , x 1 , x 2 , ...) van x korlátja, ha a távolság | x  -  x n | önkényesen kicsi lesz, ahogy n növekszik. Az a kijelentés, hogy 0,999 ... = 1, önmagában is korlátként értelmezhet és bizonyítható:

Az els két egyenlség szimbólum gyorsírás -definícióként értelmezhet. A fennmaradó egyenlség bizonyítható. Az utolsó lépést, hogy 1 10 n 0, mint n , gyakran a valós számok archimédészi tulajdonsága indokolja . Ezt a határalapú hozzáállást 0.999-hez ... gyakran sokszor hangulatosabban, de kevésbé pontosan fogalmazzák meg. Például az 1846 -ban megjelent The University Arithmetic tankönyvben ez olvasható: ".999 +, a végtelenségig = 1, mert a 9 -es minden melléklete közelebb hozza az értéket az 1 -hez"; az 1895 -ös aritmetika iskoláknak azt mondja: "ha nagyszámú 9 -et veszünk, az 1 és .99999 közötti különbség elképzelhetetlenül kicsi lesz". Az ilyen heurisztikákat a diákok gyakran helytelenül értelmezik úgy, hogy azt sugallják, hogy 0.999 ... maga is kevesebb, mint 1.

Beágyazott intervallumok és legkisebb fels határok

A fenti sorozatdefiníció egy egyszer módszer a tizedes kiterjesztéssel megnevezett valós szám meghatározására. Egy kiegészít megközelítés az ellenkez folyamatra van szabva: adott valós szám esetén határozza meg a tizedes kiterjesztést (neveket).

Ha ismert, hogy egy x valós szám a zárt intervallumban [0, 10] található (azaz nagyobb vagy egyenl 0 -val, és kisebb vagy egyenl 10 -el), akkor elképzelhet, hogy ezt az intervallumot tíz olyan részre osztjuk, amelyek csak átfedik egymást végpontjukon: [0, 1], [1, 2], [2, 3], és így tovább [9, 10]. Az x számnak ezek egyikéhez kell tartoznia; ha a [2, 3] -hoz tartozik, akkor az egyik rögzíti a "2" számjegyet, és felosztja ezt az intervallumot [2, 2.1], [2.1, 2.2], ..., [2.8, 2.9], [2.9, 3] -ra. Ennek a folyamatnak a folytatása végtelen számú egymásba ágyazott intervallumot eredményez , amelyeket b 0 , b 1 , b 2 , b 3 , ... végtelen számjegyek jelölnek , és az egyik írja

Ebben a formalizmusban az 1 = 0,999 ... és 1 = 1000 ... azonosság tükrözi azt a tényt, hogy az 1 mind a [0, 1], mind az [1, 2] -ben található, így bármelyik részintervallumot választhatjuk annak számjegyeit. Annak biztosítására, hogy ez a jelölés ne éljen vissza a "=" jellel, szükség van arra, hogy minden tizedesjegyhez egyedi valós számot rekonstruáljunk. Ezt meg lehet tenni korlátokkal, de más konstrukciók folytatják a rendelési témát.

Az egyik egyszer választás a beágyazott intervallumok tétele , amely garantálja, hogy adott egymásba ágyazott, zárt intervallumok sorozata esetén, amelyek hossza tetszlegesen kicsi lesz, az intervallumok pontosan egy valós számot tartalmaznak metszéspontjukban . Tehát b 0 . b 1 b 2 b 3 ... a [ b 0 , b 0 + 1], [ b 0 intervallumokban található egyedi szám . b 1 , b 0 . b 1 + 0,1], és így tovább. 0,999 ... ez az egyedi valós szám, amely a [0, 1], [0,9, 1], [0,99, 1] és [0,99 ... 9, 1] intervallumokban található 9s. Mivel az 1 ezen intervallumok eleme, 0,999 ... = 1.

A beágyazott intervallumok tétele általában a valós számok egy alapvet jellemzjére épül: a legkisebb fels határok vagy a felsbbrendség létezésére . Ezen objektumok közvetlen kihasználásához definiálhatjuk a b 0 értéket . b 1 b 2 b 3 ... a { b 0 , b 0 közelít halmaz legkisebb fels határa . b 1 , b 0 . b 1 b 2 , ...}. Ekkor kimutatható, hogy ez a definíció (vagy a beágyazott intervallumok definíciója) összhangban van a felosztási eljárással, és ismét 0,999 ... = 1 -et jelent. - fejezi be Tom Apostol,

Az a tény, hogy egy valós számnak két különböz tizedes ábrázolása lehet, csupán annak a ténynek a tükrözdése, hogy két különböz valós számhalmaznak lehet ugyanaz a szupremumja.

Bizonyítékok a valós számok felépítésébl

Egyes megközelítések kifejezetten meg kell határozni a valós számok, hogy bizonyos szerkezetek épül racionális számok segítségével axiomatikus halmazelmélet . A természetes számok  - 0, 1, 2, 3 és így tovább - 0 -val kezddnek, és felfelé folytatódnak, így minden számnak lesz utódja. A természetes számokat negatívjaikkal kiterjeszthetjük az összes egész számra , és tovább növelhetjük az arányokat, megadva a racionális számokat . Ezeket a számrendszereket az összeadás, kivonás, szorzás és osztás aritmetikája kíséri. Finomabban a sorrendet tartalmazzák , így az egyik szám összehasonlítható a másikkal, és megállapítható, hogy kisebb, nagyobb vagy egyenl, mint egy másik szám.

A racionalitásoktól a valóságig tartó lépés jelents kiterjesztés. Ennek a lépésnek legalább két népszer módja van, mindkettt 1872 -ben tették közzé: Dedekind -vágások és Cauchy -sorozatok . Bizonyítékok arra, hogy 0,999 ... = 1, amelyek közvetlenül használják ezeket a konstrukciókat, nem találhatók a valódi elemzésrl szóló tankönyvekben, ahol az elmúlt néhány évtized modern tendenciája az axiomatikus elemzés alkalmazása volt. Még akkor is, ha konstrukciót kínálnak, általában a valós számok axiómájának bizonyítására alkalmazzák, amelyek alátámasztják a fenti bizonyításokat. Több szerz azonban kifejezi azt az elképzelést, hogy logikailag helyénvalóbb egy konstrukcióval kezdeni, és a kapott bizonyítékok önállóbbak.

Dedekind vág

A Dedekind vág megközelítés minden valós szám x definíciója végtelen minden racionális szám kisebb, mint x . Különösen az 1 valós szám az összes racionális szám halmaza, amely kisebb, mint 1. Minden pozitív tizedes bvítés könnyen meghatározza a Dedekind metszést: a racionális számok halmazát, amelyek kisebbek, mint a bvítés bizonyos szakaszai. Így a valós szám 0,999 ... az a racionális számok r úgy, hogy r <0, vagy r <0,9, vagy r <0,99, illetve r kisebb, mint néhány más számos formában

Minden 0.999 ... elem kevesebb, mint 1, tehát az 1 valós szám eleme. Ezzel szemben az 1 összes eleme racionális szám, amelyet úgy írhatunk fel, hogy

a b > 0 és b > a . Ez arra utal

és így

és azóta

a fenti definíció szerint az 1 minden eleme egyben 0,999 ... elem is, és a fenti bizonyítékkal együtt, hogy minden 0,999 ... elem egyben az 1 eleme is, a 0,999 ... és 1 halmazok ugyanazok a racionális számok, és ezért ugyanaz a halmaz, azaz 0,999 ... = 1.

A valós számok Dedekind -vágásként való meghatározását elször Richard Dedekind publikálta 1872 -ben. A fenti megközelítés a valós szám minden tizedes kiterjesztéshez való hozzárendeléséhez az "Is 0.999 ... = 1" Cím ismertetlapnak köszönhet. írta Fred Richman a Mathematics Magazine -ban , amely a kollegális matematika tanárait célozza meg, különösen a junior/senior szinten, és diákjaikat. Richman megjegyzi, hogy a racionális számok bármely sr részhalmazában a Dedekind vágásainak elvégzése ugyanazokat az eredményeket eredményezi; különösen tizedes törteket használ , amelyekre a bizonyítás azonnali. Azt is megjegyzi, hogy a definíciók általában lehetvé teszik, hogy az {x: x <1} vágás legyen, de nem {x: x 1} (vagy fordítva) "Miért tegyük ezt 1. [...] Látjuk tehát, hogy a valós számok hagyományos definíciójában a 0.9* = 1 egyenlet az elején van beépítve. " Az eljárás további módosítása eltér szerkezethez vezet, ahol a kett nem egyenl. Bár következetes, a tizedes aritmetika számos közös szabálya már nem érvényes, például az 1 3 tört nem rendelkezik ábrázolással; lásd alább " Alternatív számrendszerek ".

Cauchy szekvenciák

Egy másik megközelítés az, hogy egy valós számot a racionális számok Cauchy -sorozatának határaként definiálunk . A valós számok ilyen konstrukciója kevésbé használja a racionális rendezést. Elször is, az x és y közötti távolságot abszolút értékként határozzuk meg | x  -  y |, ahol az abszolút érték | z | a z és - z maximumát határozza meg , tehát soha nem negatív. Ekkor a valós értékek olyan racionális szekvenciák, amelyek a Cauchy szekvencia tulajdonsággal rendelkeznek, ezt a távolságot használva. Vagyis az ( x 0 , x 1 , x 2 , ...) sorrendben a természetes számok és a racionálisok közötti leképezés, bármely pozitív racionális esetén létezik olyan N , hogy | x m  -  x n |   minden m , n  >  N esetén . (A kifejezések közötti távolság kisebb lesz, mint bármelyik pozitív racionális.)

Ha ( x n ) és ( y n ) két Cauchy -szekvencia, akkor azokat valós számokkal egyenlnek határozzuk meg, ha az ( x n  -  y n ) sorozat határa 0. A b 0 tizedes szám csonkításai . b 1 b 2 b 3 ... generáljon egy racionális sorozatot, amely Cauchy; ez határozza meg a szám valós értékét. Így ebben a formalizmusban az a feladat, hogy megmutassuk, hogy a racionális számok sorrendje

Figyelembe véve a sorozat n -edik tagját, n esetén be kell mutatni, hogy

Ez a korlát világos, ha valaki megérti a határ definícióját . Tehát ismét 0.999 ... = 1.

A valós számok Cauchy -sorozatként való meghatározását elször Eduard Heine és Georg Cantor publikálta , szintén 1872. -ben. A tizedes kiterjesztések fenti megközelítése, beleértve annak bizonyítását, hogy 0.999 ... = 1, szorosan követi Griffiths & Hilton 1970 -es A átfogó munkáját. klasszikus matematika tankönyv: Egy kortárs értelmezés . A könyv kifejezetten azért készült, hogy második pillantást engedjen az ismers fogalmakra kortárs fényben.

Végtelen tizedes ábrázolás

Általában a középiskolák matematikaoktatásában a valós számokat úgy kell felépíteni, hogy egy egész számot definiálunk, majd egy radix pontot és egy végtelen szekvenciát írunk ki karakterláncként, ami a valós szám töredékét jelenti. Ebben a konstrukcióban a tizedespont (vagy a 10-es nem bázisú rendszerek radixpontja) utáni egész szám és számjegy kombináció halmaza a valós számok halmaza. Szigorúan kimutatható, hogy ez a konstrukció kielégíti az összes valós axiómát, miután egy ekvivalencia relációt definiált a halmaz felett, amely 1 = eq 0,999 ... utolsó 9 -es verzió. A valós értékek ilyen felépítésével az "1 = 0,999 ..." állítás összes bizonyítéka implicit módon feltételezhet egyenlségnek, ha bármilyen mveletet a valós számokkal hajtanak végre.

Sr sorrend

Az egyik elképzelés, amely megoldhatja a problémát, az a követelmény, hogy a valós számokat srn kell rendezni. A diákok szed biztosra, hogy ez eltt , míg ez a fajta intuitív rendelési inkább mint tisztán lexikografikusak.

"... a valós számok sorrendjét sr sorrendként ismerik fel. A kontextustól függen azonban a diákok össze tudják egyeztetni ezt a tulajdonságot a számok létezésével közvetlenül egy adott szám eltt vagy után (így gyakran látható 0,999 ... mint az 1) eldje. "

A sr sorrend megköveteli, hogy a harmadik valós érték szigorúan a és között legyen , de nincs: nem változtathatunk egyetlen számjegyet sem a kett között, hogy ilyen számot kapjunk. Ha és a képviseletére valós számok vannak, hogy egyenl. A sr sorrend azt jelenti, hogy ha nincs új elem szigorúan a halmaz két eleme között, akkor a két elemet egyenlnek kell tekinteni.

Általánosítások

Az eredmény, hogy 0,999 ... = 1, kétféleképpen könnyen általánosítható. Elször is, minden nem nulla számnak véges tizedes jelöléssel (egyenérték, végtelen 0 -ás zárójelekkel) van párja 9 -es zárójelekkel. Például 0,24999 ... egyenl 0,25 -vel, pontosan úgy, mint a figyelembe vett különleges esetben. Ezek a számok pontosan a tizedes törtek, és srek .

Másodszor, minden radixban vagy bázisban összehasonlítható tétel érvényes . Például a 2. bázisban (a bináris számrendszer ) 0.111 ... egyenl 1, és a 3. bázisban ( háromszoros számrendszer ) 0.222 ... egyenl 1. Általánosságban elmondható, hogy bármely b vég bázis kifejezésnek van párja ismételt zárással számjegyek egyenlk a b - 1 -gyel. A valódi elemzés tankönyvei valószínleg kihagyják a 0.999 példát ... és az általánosítás egyikét vagy mindkettt eleve bemutatják.

Alternatív 1-es ábrázolások elfordulhatnak nem egész bázisokban is. Például az aranymetszés alapjában a két standard ábrázolás 1.000 ... és 0.101010 ..., és végtelenül több olyan ábrázolás létezik, amelyek szomszédos 1 -eket tartalmaznak. Általánosságban elmondható, hogy szinte minden q-nál 1 és 2 között számotteven sok bázis- q bvítés van. Másrészt azonban még mindig számotteven sok q (beleértve az 1-nél nagyobb természetes számokat is), amelyeknek csak egy bázisa van. q az 1 -es bvítés, kivéve a triviális 1000 -et .... Ezt az eredményt elször Erds Pál , Horváth Miklós és Joó István kapta 1990 körül. 1998 -ban Komornik Vilmos és Loreti Paola meghatározta a legkisebb ilyen bázist, a Komornik Loreti -állandó q = 1,787231650 .... Ebben az alapban 1 = 0,11010011001011010010110011010011 ...; a számjegyeket a Thue Morse sorozat adja , amely nem ismétldik.

Egy messzemenbb általánosítás a legáltalánosabb helyzeti számrendszerekkel foglalkozik . Nekik is többféle képviseletük van, és bizonyos értelemben a nehézségek még rosszabbak. Például:

Az egyedi ábrázolás lehetetlensége

Az, hogy mindezek a különböz számrendszerek bizonyos valós számok esetében többszörös ábrázolásokat szenvednek, az alapvet különbségnek tulajdonítható a valós számok rendezett halmaza és a végtelen szimbólumláncok gyjteményei között, lexikográfiai rendben . Valójában a következ két tulajdonság adja a nehézséget:

  • Ha a valós számok intervalluma két nem üres L , R részre van osztva , úgy, hogy L minden eleme (szigorúan) kisebb, mint R minden eleme , akkor vagy L tartalmaz egy legnagyobb elemet, vagy R tartalmaz egy legkisebb elemet, de nem mindkett.
  • A gyjtemény a végtelen húrok szimbólumok vett véges ábécé, lexikografikusan rendezett, feloszthatjuk két nem üres részek L , R , oly módon, hogy minden eleme L -nél kisebb minden elemét R , míg L tartalmaz legnagyobb elem és R tartalmaz egy legkisebb elemet. Valójában elegend két véges eltagot (kezdeti allánc) p 1 , p 2 elemeket venni a gyjteménybl úgy, hogy azok csak a végs szimbólumukban különböznek egymástól, amely szimbólumnak egymást követ értékeik vannak, és L -re az összes karakterláncot abban a gyjteményben, amelynek megfelel eltagja legfeljebb p 1 , R esetében pedig a többi, azon gyjtemény karakterláncai, amelynek megfelel eltagja legalább p 2 . Ekkor L -nek van egy legnagyobb eleme, kezdve p 1 -el, és az összes következ pozícióban a legnagyobb elérhet szimbólumot választja, míg R -nek van egy legkisebb eleme, amelyet úgy kapunk, hogy a p 2 -t követjük a legkisebb szimbólummal minden pozícióban.

Az els pont következik alapvet tulajdonságait a valós számok: L egy szuprémum és R egy infimum , amely könnyen látható, hogy egyenl; valódi számként vagy R -ben vagy L -ben található , de nem mindkett, mivel L és R állítólag diszjunkt . A második pont a p 1  = "0", p 2  = "1" esetén kapott 0,999 .../1000 ... párost általánosítja . Valójában nem kell ugyanazt az ábécét használni minden pozícióhoz (így például a vegyes radixrendszerek is), vagy figyelembe kell venni a lehetséges karakterláncok teljes gyjteményét; az egyetlen fontos pont az, hogy minden pozícióban egy véges szimbólumkészlet (amely akár az elz szimbólumoktól is függ) választható (ez a maximális és minimális választás biztosításához szükséges), és hogy bármely pozícióhoz érvényes választást kell tenni érvényes végtelen karakterláncot eredményez (tehát nem szabad megengedni a "9" -et minden pozícióban, miközben tilos a "9" végtelen sorozata). E feltételezések alapján a fenti érv azt mutatja, hogy a karakterláncok gyjteményétl a valós számok intervallumáig terjed sorrendet megrz sorrend nem lehet elvetés : vagy egyes számok nem felelnek meg egyetlen karakterláncnak, vagy vannak olyanok, amelyek egynél több karakterláncnak felelnek meg. .

Marko Petkovek bebizonyította, hogy minden olyan helyzeti rendszer esetében, amely megnevezi az összes valós számot, a többszörös ábrázolásokkal rendelkez realok halmaza mindig sr. A bizonyítást "tanulságos gyakorlatnak elemi ponthalmaz topológiában " nevezi ; ez magában foglalja megtekintésére készlet pozicionális értékek K terek és észrevette, hogy valódi reprezentációk által adott folytonos függvények .

Alkalmazások

Egy 0,999 ... alkalmazás 1 ábrázolásaként fordul el az elemi számelméletben . H. Goodwin 1802-ben közzétett egy megfigyelést a 9-esek megjelenésérl a törtek ismétld-tizedes ábrázolásában, amelyek nevezi bizonyos prímszámok . Például:

  • 1 7 = 0. 142857 és 142 + 857 = 999.
  • 1 73 = 0. 01369863 és 0136 + 9863 = 9999.

E. Midy 1836 -ban bebizonyította az ilyen törtek általános eredményét, amelyet most Midy tételének neveznek . A publikáció homályos volt, és nem világos, hogy bizonyítása közvetlenül 0,999 -et tartalmazott -e, de WG Leavitt legalább egy modern bizonyítéka igen. Ha bebizonyítható, hogy ha egy 0. b 1 b 2 b 3 ... alakú tizedesjegy pozitív egész szám, akkor annak 0,999 ... -nak kell lennie, ami ekkor a tétel 9 -esek forrása. Az ilyen irányú vizsgálatok motiválhatnak olyan fogalmakat, mint a legnagyobb közös osztók , a moduláris aritmetika , a Fermat -prímek , a csoportelemek sorrendje és a másodfokú kölcsönösség .

Visszatérve a valódi elemzéshez, a bázis-3 analóg 0,222 ... = 1 kulcsszerepet játszik az egyik legegyszerbb fraktál , a középs harmad harmadának Cantor halmazának jellemzésében :

  • Az egységintervallum egy pontja akkor és csak akkor található a Cantor halmazban, ha csak háromszorosan ábrázolható a 0 és 2 számjegyek használatával.

Az ábrázolás n . Számjegye a pont helyzetét tükrözi a konstrukció n . Szakaszában. Például, az a pont 2 / 3 kap a szokásos ábrázolása 0,2 vagy 0.2000 ..., mivel ez fekszik a jobbra az els deléció és balra minden deléció azt követen. Az 1 3 pontot nem 0,1 -ként, hanem 0,0222 -ként ábrázolják ..., mivel az els törlés mellett balra, majd minden törlés után jobbra található.

Ismétld kilenc is megjelenik Georg Cantor egy másik mvében. Meg kell figyelembe venni, hogy össze egy érvényes igazolást, alkalmazása az 1891 átlós érv a tizedes terjeszkedést, a uncountability az egység intervallum. Egy ilyen bizonyításnak képesnek kell lennie arra, hogy bizonyos valós számpárokat különböznek nyilvánítson a tizedes kiterjesztésük alapján, ezért kerülni kell a 0,2 és a 0,1999 -es párokat ... Egy egyszer módszer a nem végzd bvítés számokat reprezentálja; az ellenkez módszer kizárja a kilenc ismétlését. Egy változat, amely közelebb állhat Cantor eredeti érvéhez, valójában a 2. bázist használja, és ha a 3. alap bvítéseit bázis 2. bvítéssé alakítja, akkor bizonyítani lehet a Cantor halmaz párosíthatatlanságát is.

Szkepticizmus az oktatásban

A matematika szakos hallgatók gyakran elutasítják a 0.999 ... és az 1 egyenlséget, különböz okoktól kezdve, az eltér megjelenésüktl a határkoncepcióval kapcsolatos mély aggályokig és a végtelenek természetével kapcsolatos nézeteltérésekig . A zavartságnak számos közös tényezje van:

  • A diákok gyakran "lelkileg elkötelezettek amellett a felfogás mellett, hogy egy számot egyetlen és egyetlen módon lehet tizedesjegyekkel ábrázolni". Két nyilvánvalóan különböz tizedesjegy látása, amely ugyanazt a számot képviseli, paradoxonnak tnik , amit a látszólag jól érthet 1 szám megjelenése felersít.
  • Néhány tanuló úgy értelmezi a "0.999 ..." (vagy hasonló jelölést), mint egy nagy, de véges 9 -es karakterláncot, esetleg változó, nem meghatározott hosszúsággal. Ha elfogadják a végtelen kilencedik karakterláncot, akkor is számíthatnak az utolsó 9 -re "a végtelenben".
  • Az intuíció és a félreérthet tanítás arra készteti a diákokat, hogy a szekvencia határát egyfajta végtelen folyamatnak gondolják, nem pedig rögzített értéknek, mivel a szekvenciának nem kell elérnie a határt. Ha a diákok elfogadják a számok sorozata és a korlát közötti különbséget, akkor a 0.999 ... feliratot olvassák, ami inkább a sorozatot jelenti, mint a korlátját.

Ezek az elképzelések tévesek a standard valós számok kontextusában, bár egyesek érvényesek lehetnek más számrendszerekben is, akár általános matematikai hasznosságuk miatt kitalálva, akár tanulságos ellenpéldaként a 0.999 jobb megértése érdekében ...

E magyarázatok közül sokat David Tall talált , aki a tanítás és a megismerés olyan jellemzit tanulmányozta, amelyek néhány félreértéshez vezettek, amelyekkel egyetemi hallgatóiban találkozott. Megkérdezte hallgatóit, hogy eldöntse, miért utasította el a túlnyomó többség az egyenlséget, és megállapította, hogy "a diákok továbbra is 0.999 -et képzeltek el ... mint számok sorozatát, amely egyre közelebb kerül az 1 -hez, és nem rögzített értéket, mert" nem megadta, hogy hány hely van "vagy" ez a legközelebbi tizedesjegy 1 alatt " ".

Az elemi érv, hogy 0,333 ... = 1 3 -at 3 -mal kell megszorozni, meg tudja gyzni a vonakodó tanulókat arról, hogy 0,999 ... = 1. Mégis, ha szembesülünk az els egyenletbe vetett hitük és a második hitetlensége közötti konfliktussal, néhány diák vagy kezdenek el hinni az els egyenletnek, vagy egyszeren frusztrálttá válnak. A kifinomultabb módszerek sem bizonytalanok: azok a diákok, akik teljes mértékben képesek a szigorú meghatározások alkalmazására, még mindig visszaeshetnek az intuitív képeken, ha meglepdnek a fejlett matematika eredményén, beleértve a 0,999 -et is ... Például egy valódi elemz tanuló bizonyítják, hogy 0.333 ... = 1 / 3 alkalmazásával supremum meghatározás, de aztán ragaszkodott ahhoz, hogy 0,999 ... <1 alapján korábbi megértése hosszú részlege. Mások is képesek bizonyítani, hogy 1- / 3 = 0,333 ..., de amikor szembesül a frakcionált igazolást , azt állítják, hogy logika hatálytalanítja a matematikai számítások.

Joseph Mazur elmeséli egy egyébként ragyogó számítástechnikai tanulóját, aki "majdnem mindent megkérdjelezett, amit mondtam az órán, de soha nem kérdjelezte meg a számológépét", és aki azt hitte, hogy kilenc számjegy szükséges a matematikához, beleértve a négyzet számítását is gyökere 23. A diák kényelmetlenül érezte magát azzal a korlátozó érveléssel, hogy 9,99 ... = 10, "vadul elképzelt végtelen növekedési folyamatnak" nevezve.

Ed Dubinsky matematikai tanulás APOS -elméletének részeként és munkatársai (2005) azt javasolják, hogy azok a diákok, akik 0,999 -et véges, határozatlan szálnak tekintenek, végtelenül kis távolságra 1 -tl, még nem építették fel a teljes folyamatkoncepciót. a végtelen tizedesjegybl . Más diákok, akiknek a teljes folyamatkoncepciója 0,999 ..., még nem tudják "beágyazni" ezt a folyamatot "objektumkoncepcióvá", például az 1 -es objektumkoncepciót, és így a folyamatot 0,999 ... és az 1 objektum összeegyeztethetetlen. Dubinsky és mtsai. is összekapcsolni ezt a mentális képességet tokozás megtekint 1- / 3 számként saját jogán, és foglalkozik a természetes számok halmaza egészére.

Kulturális jelenség

Az internet térnyerésével a 0,999 körüli viták ... általánossá váltak a hírcsoportokban és az üzenfalakon , köztük sok olyan is, amelyeknek névlegesen kevés közük van a matematikához. A sci.math hírcsoportban a 0.999 feletti vitát "népszer sportnak" nevezik, és ez a GYIK -ban megválaszolt kérdések egyike . A FAQ röviden borító 1- / 3 szorzás 10, és a korlátokat, és ez utal Cauchy sorozatok is.

Egy 2003-as kiadása a közérdek újság oszlop The Straight Dope tárgyalja 0,999 ... via 1- / 3 és korlátok, mondván téveszmék,

A bennünk lév alsóemls még ellenáll, mondván: .999 ~ valójában nem számot jelent , hanem folyamatot . Szám kereséséhez meg kell állítanunk a folyamatot, ekkor a .999 ~ = 1 dolog szétesik. Ostobaság.

A Slate cikke arról számol be, hogy a 0.999 ... fogalmát "hevesen vitatják a World of Warcraft üzenfalától az Ayn Rand fórumokig terjed weboldalak ". Ebben a szellemben, a kérdés az, 0,999 ... bizonyult egy ilyen népszer téma az els hét évben a Blizzard Entertainment 's Battle.net fórumon, hogy a cég kiadott egy »sajtóközleményt« a Bolondok napja 2004 hogy 1 :

Nagyon izgatottak vagyunk, hogy egyszer és mindenkorra lezárjuk a könyvet ebben a témában. Szemtanúi lehettünk a szívfájdalomnak és aggodalomnak amiatt, hogy .999 ~ megfelel vagy nem 1, és büszkék vagyunk arra, hogy az alábbi bizonyíték végre és végérvényesen megoldja ügyfeleink problémáját.

Ezután két bizonyítékot kínálnak, a korlátok és a 10 -tel való szorzás alapján.

0,999 ... a matematikai viccekben is megtalálható , például:

K: Hány matematikus kell egy villanykörte becsavarásához

A: 0.999999 ....

Alternatív számrendszerekben

Bár a valós számok rendkívül hasznos számrendszert alkotnak , az a döntés, hogy a "0.999 ..." jelölést valós szám névadásaként értelmezik, végs soron egyezmény, és Timothy Gowers a Mathematics: A Very Short Introduction (Matematika: Egy nagyon rövid bevezetés) cím könyvben azzal érvel, hogy a kapott azonosság 0,999. .. = 1 is egyezmény:

Ez azonban semmiképpen sem önkényes egyezmény, mert ha nem fogadjuk el, arra kényszerítjük az embert, hogy furcsa új tárgyakat találjon ki, vagy hogy elhagyja az aritmetika néhány ismert szabályát.

Más számrendszereket definiálhatunk különböz szabályok vagy új objektumok használatával; néhány ilyen számrendszerben a fenti bizonyításokat újra kell értelmezni, és elfordulhat, hogy egy adott számrendszerben a 0.999 ... és az 1 nem azonos. Sok számrendszer azonban a valós számrendszer kiterjesztése (nem pedig független alternatívája), így továbbra is érvényes a 0,999 ... = 1. Még az ilyen számrendszerekben is érdemes megvizsgálni az alternatív számrendszereket, nemcsak a 0.999 ... viselkedését illeten (ha valóban egy "0.999 ..." -ként kifejezett szám értelmes és egyértelm), hanem a kapcsolódó jelenségek viselkedésére. Ha az ilyen jelenségek eltérnek a valós számrendszerben tapasztalt jelenségektl, akkor a rendszerbe épített feltételezések közül legalább egynek meg kell bomlania.

Végtelen kicsi

Néhány bizonyíték arra, hogy 0,999 ... = 1 a valós számok archimédészi tulajdonságára támaszkodik : nincsenek nem nulla végtelenek . Konkrétan az 1 - 0,999 ... különbségnek kisebbnek kell lennie, mint bármely pozitív racionális számnak, tehát végtelen kicsi; de mivel a valós értékek nem tartalmaznak nulla végtelen számokat, ezért a különbség nulla, és ezért a két érték azonos.

Vannak azonban matematikailag koherens rendezett algebrai struktúrák , beleértve a valós számok különböz alternatíváit, amelyek nem archimédésziek. A nem szabványos elemzés számrendszert biztosít végtelen számok (és inverzeik) teljes körével. AH Lightstone kifejlesztett egy decimális bvítés hiperreális számok a (0, 1) * . A Lightstone megmutatja, hogyan lehet minden számhoz hozzárendelni egy számjegysorozatot,

indexelve a hypernatural számokat. Bár nem közvetlenül beszélni 0,999 ..., miközben mutatja a valós szám 1- / 3 képviseli 0,333 ...; ... 333 ... ami annak a következménye, az átviteli elv . Következésképpen a 0.999 ...; ... 999 ... = 1. Az ilyen típusú tizedes ábrázolással nem minden bvítmény jelent számot. Különösen a "0,333 ...; ... 000 ..." és a "0,999 ...; ... 000 ..." nem felel meg egyetlen számnak sem.

A normál felbontású számának 0.999 ... a határ a sorozat 0,9, 0,99, 0,999, ... Egy másik meghatározás jár, amit Terry Tao utal a ultralimit , vagyis az ekvivalencia osztály [(0,9, 0,99, 0,999, ...)] ennek a szekvenciának az ultrahatalmi konstrukcióban , amely szám végtelenül kicsi az 1 -tl. Általánosabban, a hiperreális száma u H = 0,999 ...; ... 999,000 ..., a utolsó számjegy 9 végtelen hypernatural rang H , kielégíti a szigorú egyenltlenség u H <1. Ennek megfelelen, egy alternatív értelmezése a nulla követ végtelen sok 9 -es "lehet

A "0.999 ..." minden ilyen értelmezése végtelenül közel áll az 1. Ian Stewart ezt az értelmezést "teljesen ésszer" módszernek minsíti, hogy szigorúan igazolja azt az intuíciót, hogy "egy kicsit hiányzik" az 1 -bl 0.999 -ben. Katz & Katz mellett Robert Ely megkérdjelezi azt a feltevést is, hogy a diákok 0.999 ... <1 -re vonatkozó elképzelései téves megérzések a valós számokkal kapcsolatban, és inkább nem szabványos intuíciókként értelmezik azokat , amelyek értékesek lehetnek a számítás tanulásában. Jose Benardete a Végtelenség: Egy esszé a metafizikában cím könyvében azt állítja, hogy bizonyos természetes matematikai pre-intuíciók nem fejezhetk ki, ha valaki túlzottan korlátozó számrendszerre korlátozódik:

A kontinuum érthetségérl - sokszorosan - azt tapasztalták, hogy a valós számok tartományát végtelen méretekre kell kiterjeszteni. Ezt a kibvített tartományt a kontinuumszámok tartományának lehet nevezni. Most nyilvánvalóvá válik, hogy .9999 ... nem egyenl 1 -el, de végtelenül elmarad tle. Azt hiszem, hogy .9999 ... valóban el kell ismerni számként ... bár nem valós számként.

Hackenbush

A kombinációs játékelmélet alternatívákat is kínál, a végtelen kék-vörös Hackenbush különösen releváns példa. 1974 -ben Elwyn Berlekamp leírta a Hackenbush -karakterláncok és a valós számok bináris kiterjesztései közötti megfeleltetést, amelyet az adatok tömörítésének gondolata motivált . Például a Hackenbush string LRRLRLRL ... értéke 0,010101 2 ... =  1 3 . Azonban az LRLLL ... értéke (0,111 ... 2 -nek felel meg ) végtelenül kisebb, mint 1. A kett közötti különbség az 1 szürreális szám , ahol az els végtelen sorszám ; a megfelel játék az LRRRR ... vagy 0,000 ... 2 .

Ez valójában sok racionális szám bináris bvítésére vonatkozik, ahol a számok értékei egyenlk, de a megfelel bináris faútvonalak eltérek. Például 0.10111 ... 2  = 0.11000 ... 2 , amelyek mindkett 3/4, de az els ábrázolás az LRLRLLL bináris faútvonalnak felel meg, míg a második az LRLLRRR ... .

A kivonás felülvizsgálata

A bizonyításokat alááshatják egy másik módon is, ha 1 - 0,999 ... egyszeren nem létezik, mert a kivonás nem mindig lehetséges. Az összeadási mvelettel rendelkez, de kivonás nélküli matematikai struktúrák közé tartoznak a kommutatív félcsoportok , a kommutatív monoidok és a félkörívek . Richman két ilyen rendszert vesz figyelembe, amelyeket úgy terveztek, hogy 0,999 ... <1.

Elször Richman definiálja a nemnegatív tizedes számot , hogy szó szerinti tizedes bvítés legyen. Meghatározza a lexikográfiai sorrendet és az összeadási mveletet, megjegyezve, hogy 0,999 ... <1 pusztán azért, mert 0 <1 az egy helyen, de minden nem végzd x esetén az egyik 0,999 ... +  x  = 1 +  x . Tehát a tizedes számok egyik sajátossága, hogy az összeadást nem lehet mindig megszakítani; a másik, hogy egyetlen tizedes szám sem felel meg 1 3 -nak . A szorzás meghatározása után a tizedes számok pozitív, teljesen rendezett, kommutatív féligét képeznek.

A szorzás meghatározásának folyamatában Richman definiál egy másik rendszert is , amelyet "cut D " -nek nevez , amely a tizedes törtek Dedekind -vágásainak halmaza . Általában ez a definíció a valós számokhoz vezet, de egy tizedes tört d esetén a vágást (,  d ) és a fvágást (,  d ] is engedélyezi. Az eredmény az, hogy a valós számok nyugtalanul élnek együtt "a tizedes törtekkel. Ismét 0.999 ... <1. A D metszésben nincsenek végtelen végtagok , de van" egyfajta negatív végtelen kicsi ", 0 - , amelynek nincs tizedes tágulása. Arra a következtetésre jut, hogy 0,999 .. . = 1 + 0 - , míg a "0,999 ... + x = 1" egyenletnek nincs megoldása.

p -adikus számok

Amikor 0.999 -rl kérdezik, a kezdk gyakran úgy vélik, hogy "végs 9" -nek kell lennie, és úgy vélik, hogy 1-0,999 ... pozitív szám, amelyet "0,000 ... 1" -ként írnak. Akár van értelme, akár nem, az intuitív cél egyértelm: az 1 -es szám hozzáadása a végs 9 -hez 0,999 -ben ... az összes 9 -et 0 -ba viszi, és 1 -et hagy az egy helyen. Többek között ez az ötlet is kudarcot vall, mert 0.999 -ben nincs "végs 9" .... Van azonban olyan rendszer, amely végtelen 9 -es karakterláncot tartalmaz, beleértve az utolsó 9 -et.

A p -adic számok egy alternatív számrendszer érdekldés számelmélet . A valós számokhoz hasonlóan a p -adikus számok a racionális számokból Cauchy -szekvenciákon keresztül építhetk fel ; az építési használ egy másik mutatót, amely 0 közelebb p , és sokkal közelebb p n , mint az, hogy 1. o -adic számok alkotnak területén az elsdleges p és a gyr más p , köztük 10. Tehát számtani végrehajtható a p -adicsban, és nincsenek végtelenek.

A 10-adic számokban a tizedes kiterjesztések analógjai balra futnak. A 10 adic kiterjesztés ... 999-nek van utolsó 9-e, és nincs els 9-je. Az 1-eshez hozzáadhat egyet, és csak 0-at hagy maga után: 1 + ... 999 = ... 000 = 0, és így ... 999 = 1. Egy másik levezetés geometriai sorozatot használ. A "... 999" végtelen sorozata nem konvergál a valós számokban, hanem a 10-adicsban, és így újra fel lehet használni az ismers képletet:

(Hasonlítsa össze a fenti sorozattal .) A harmadik levezetést egy hetedikes tanuló találta ki, aki kételkedett tanára korlátozó érvében, miszerint 0,999 ... = 1, de arra inspirált, hogy a fenti 10-szeres szorzót ellenkez irányba vegye. : ha x  = ... 999 akkor 10 x  = ... 990, tehát 10 x  =  x  - 9, tehát x  = 1 ismét.

Végs kiterjesztésként, mivel 0,999 ... = 1 (a valóságban) és ... 999 = 1 (a 10-adicsban), majd "vak hittel és a szimbólumok gátlástalan zsonglrködésével" hozzáadható a két egyenlet és megérkezik ... 999.999 ... = 0. Ez az egyenlet nincs értelme akár 10 adikus bvítése vagy egy közönséges tizedes terjeszkedés, de kiderült, hogy értelmes és igaz a kétszeresen végtelen tizedes bvítése a 10 -adic mágnesszelep , végül ismétld bal végekkel, hogy a valós számokat ábrázolják, és végül ismétld jobb végekkel, hogy képviseljék a 10-es számokat.

Ultrafinitizmus

Az ultrafinitizmus filozófiája elutasítja a végtelen halmazokkal foglalkozó értelmetlen fogalmakat, például azt az elképzelést, hogy a jelölés egy tizedes számot jelenthet végtelen kilenc sorozattal , valamint a tizedesjegyek helyzeti értékeinek megfelel végtelen sok szám összegzését abban a végtelen karakterláncban. Ebben a matematikai megközelítésben csak bizonyos (rögzített) számú véges tizedesjegy számít. Az "egyenlség" helyett "hozzávetleges egyenlség" van, ami egyenlség a tizedes számjegyek számáig, amelyet számolni lehet. Bár Katz és Katz azzal érvel, hogy az ultrafinitizmus megragadhatja a hallgatói megérzést, hogy 0,999-nek ... kevesebbnek kell lennie, mint 1-nek, az ultrafinitizmus eszméi nem élvezik széles körben elfogadását a matematikai közösségben, és a filozófiának nincs általánosan elfogadott formális matematikai alapja .

Kapcsolódó kérdések

  • Zénó paradoxonjai , különösen a futó paradoxona emlékeztet arra a látszólagos paradoxonra, hogy 0,999 ... és 1 egyenl. A futóparadoxon matematikailag modellezhet, majd 0,999 -hez hasonlóan geometriai sorozat segítségével megoldható. Nem világos azonban, hogy ez a matematikai kezelés foglalkozik -e Zeno által vizsgált metafizikai alapkérdésekkel.
  • A nullával való osztás néhány népszer vitában 0,999 -nél fordul el ..., és a vitát is felkavarja. Míg a legtöbb szerz a 0,999 ... meghatározását választja, szinte minden modern kezelés nem határozza meg a nullával való osztást, mivel a standard valós számoknak nem lehet értelme. A nullával való osztást azonban néhány más rendszer is meghatározza, például a komplex elemzésben , ahol a kiterjesztett komplex síknak , azaz a Riemann -gömbnek " végtelen pontja " van. Itt van értelme 1 0 -t végtelennek definiálni ; és valójában az eredmények mélyek és alkalmazhatók a mérnöki és fizika számos problémára. Néhány jeles matematikus érvelt egy ilyen definíció mellett jóval azeltt, hogy bármely számrendszert kifejlesztették volna.
  • A negatív nulla a számok írásának számos módjának másik felesleges jellemzje. A számrendszerekben, például a valós számokban, ahol a "0" az additív azonosságot jelöli, és nem pozitív és nem negatív, a "0" szokásos értelmezése szerint a 0 inverzét kell jelölnie, ami 0 = 0 Mindazonáltal egyes tudományos alkalmazások külön pozitív és negatív nullákat használnak, csakúgy, mint néhány számítástechnikai bináris számrendszer (például az eljelben és nagyságban tárolt egész számok vagy azok kiegészít formátumai, vagy az IEEE lebegpontos szabványa szerinti lebegpontos számok ) .

Lásd még

Megjegyzések

Hivatkozások

További irodalom

  • Burkov, SE (1987). "A kvázi-kristályos ötvözet egydimenziós modellje". Journal of Statistic Physics . 47 (3/4): 409438. Bibcode : 1987JSP .... 47..409B . doi : 10.1007/BF01007518 . S2CID  120281766 .
  • Burn, Bob (1997. március). "81.15 Konfliktus esete". A Matematikai Közlöny . 81 (490): 109112. doi : 10.2307/3618786 . JSTOR  3618786 .
  • Calvert, JB; Tuttle, ER; Martin, Michael S .; Warren, Peter (1981. február). "Newton kora: Intenzív interdiszciplináris tanfolyam". A történelem tanár . 14 (2): 167190. doi : 10.2307/493261 . JSTOR  493261 .
  • Choi, Younggi; Do, Jonghoon (2005. november). "Egyenlség 0,999-ben ... és (-8) 1/3". A matematika tanulásához . 25 (3): 1315, 36. JSTOR  40248503 .
  • Choong, KY; Daykin, DE; Rathbone, CR (1971. április). "Racionális közelítések -hez". A számítás matematikája . 25 (114): 387392. doi : 10.2307/2004936 . JSTOR  2004936 .
  • Edwards, B. (1997). "Az egyetemi hallgató a matematikai definíciók megértését és használatát a valós elemzésben". In Dossey, J .; Swafford, JO; Parmentier, M .; Dossey, AE (szerk.). A Matematikaoktatás Pszichológiája Nemzetközi Csoport észak -amerikai fejezetének 19. éves ülésének folyóirata . 1 . Columbus, OH: ERIC Clearinghouse for Science, Mathematics and Environmental Education. 1722.
  • Eisenmann, Petr (2008). "Miért nem igaz, hogy 0,999 ... <1" (PDF) . A matematika tanítása . 11. (1): 3540 . Letöltve: 2011. július 4 .
  • Ely, Robert (2010). "Nem szabványos hallgatói elképzelések a végtelenekrl". Journal for Research in Mathematics Education . 41. (2): 117146. doi : 10.5951/jresematheduc.41.2.0117 .
    Ez a cikk egy helyszíni vizsgálat járó diák, aki kifejlesztett egy Leibnizian stílusú elmélet végtelen kis, hogy segítsen neki megérteni kalkulus, és különösen figyelembe 0.999 ... elmarad 1 elenyész 0,000 ... 1.
  • Ferrini-Mundy, J .; Graham, K. (1994). Kaput, J .; Dubinsky, E. (szerk.). "Kutatás a számítástechnika tanulásában: A határok, a származékok és az integrálok megértése". MAA megjegyzések: Kutatási kérdések az egyetemi matematika tanulásban . 33 : 3145.
  • Lewittes, Joseph (2006). "Midy tétele periodikus tizedesekre". arXiv : matematika.NT/0605182 .
  • Gardiner, Tony (1985. június). "Végtelen folyamatok az elemi matematikában: mennyit mondjunk el a gyerekeknek". A Matematikai Közlöny . 69 (448): 7787. doi : 10.2307/3616921 . JSTOR  3616921 .
  • Monaghan, John (1988. december). "Valódi matematika: az A-szint jövjének egyik aspektusa". A Matematikai Közlöny . 72 (462): 276281. doi : 10.2307/3619940 . JSTOR  3619940 .
  • Navarro, Maria Angeles; Carreras, Pedro Pérez (2010). "Szókratészi módszertani javaslat az egyenlség vizsgálatához 0,999 ... = 1" (PDF) . A matematika tanítása . 13 (1): 1734 . Letöltve: 2011. július 4 .
  • Przenioslo, Malgorzata (2004. március). "Az egyetem matematikai tanulmányai során kialakult funkciókorlát képei". Oktatási tanulmányok a matematikából . 55 (13): 103132. doi : 10.1023/B: EDUC.0000017667.70982.05 . S2CID  120453706 .
  • Sandefur, James T. (1996. február). "Az önazonosság használata a hossz, terület és dimenzió keresésére". Az amerikai matematikai havilap . 103 (2): 107120. doi : 10.2307/2975103 . JSTOR  2975103 .
  • Sierpiska, Anna (1987. november). "A bölcsészhallgatók és a korlátokhoz kapcsolódó ismeretelméleti akadályok". Oktatási tanulmányok a matematikából . 18 (4): 371396. doi : 10.1007/BF00240986 . JSTOR  3482354 . S2CID  144880659 .
  • Szydlik, Jennifer Earles (2000. május). "Matematikai hiedelmek és a funkció határának fogalmi megértése". Journal for Research in Mathematics Education . 31 (3): 258276. doi : 10.2307/749807 . JSTOR  749807 .
  • Magas, David O. (2009). "Dinamikus matematika és a tudásstruktúrák vegyítése a számításban". ZDM matematika oktatás . 41. (4): 481492. doi : 10.1007/s11858-009-0192-6 . S2CID  14289039 .
  • Magas, David O. (1981. május). "A végtelen intuíciói". Matematika az iskolában . 10 (3): 3033. JSTOR  30214290 .

Küls linkek

Opiniones de nuestros usuarios

Vilmos Mihály

Nagyszerű poszt a 0,999 ...., Nagyszerű poszt a 0,999 ....

Roland Kurucz

Mindig jó tanulni. Köszönöm a cikket a 0,999 ...

Hermina Katona

Azt hittem, hogy már mindent tudok a 0,999 ..., de ebben a cikkben rájöttem, hogy néhány általam jónak hitt részlet nem is olyan jó. Köszönöm az információt

Helga Csapó

A nyelvezet réginek tűnik, de az információk megbízhatóak, és általában minden, ami a 0,999 ... íródott, nagy bizalmat ad., Nagyon érdekesnek találtam ezt a cikket a 0,999 ...