( , )



Az összes tudás, amelyet az emberek az évszázadok során felhalmoztak ( , )-ről, most már elérhető az interneten, és mi a lehető legkönnyebben hozzáférhető módon összegyűjtöttük és rendszereztük az Ön számára. Szeretnénk, ha gyorsan és hatékonyan hozzáférhetne mindenhez, amit a ( , )-ről tudni szeretne; hogy a látogatás élményszerű legyen, és hogy úgy érezze, valóban megtalálta a keresett információt a ( , )-ről.

Céljaink elérése érdekében nemcsak arra törekedtünk, hogy a ( , )-ről a legfrissebb, legérthetőbb és legigazabb információkat szerezzük be, hanem arra is, hogy az oldal kialakítása, olvashatósága, betöltési sebessége és használhatósága a lehető legkellemesebb legyen, hogy Ön a lényegre, a ( , )-ről elérhető összes adat és információ megismerésére koncentrálhasson, és ne kelljen semmi mással foglalkoznia, erről már gondoskodtunk Ön helyett. Reméljük, hogy elértük a célunkat, és hogy megtalálta a kívánt információt a ( , )-ről. Üdvözöljük Önt, és arra biztatjuk, hogy továbbra is élvezze a scientiahu.com használatának élményét.

A fogk , az ( ) felbontású határérték ( " Epsilon - delta meghatározása limit") egy formalizáltsága fogalmának limit . A koncepció Augustin-Louis Cauchy-nak köszönhet , aki Cours d'Analyse- ben soha nem adott formális ( , ) határérték-meghatározást , de alkalmanként , érveket használt bizonyítékként. Elször formális meghatározásként Bernard Bolzano adta meg 1817-ben, és a végleges modern állítást végül Karl Weierstrass adta meg . Szigorúságot nyújt a következ informális elképzeléshez: az f ( x ) függ kifejezés megközelíti az L értéket, amikor az x változó megközelíti a c értéket, ha f ( x ) az L-hez a kívánt mértékben közel állítható azáltal, hogy x-et kellen közel áll c-hez .

Történelem

Bár a görögök korlátozó folyamatokat vizsgáltak, például a babiloni módszert , valószínleg nem voltak a modern határhoz hasonló koncepciók. A határ fogalmának szükségessége az 1600-as években merült fel, amikor Pierre de Fermat megkísérelte megtalálni az érintõs vonal meredekségét egy olyan függvény grafikonjának egy pontjában , mint pl . Nem nulla, de majdnem nulla mennyiség felhasználásával a Fermat a következ számítást hajtotta végre:

A legfontosabb, hogy a fenti számítás az, hogy mivel az nem nulla, lehet osztani által , de mivel közel van a 0, lényegében . Azok a mennyiségek, amelyeket végtelennek nevezünk . Ennek a számításnak az a problémája, hogy a korszak matematikusai nem voltak képesek szigorúan meghatározni egy mennyiséget, amelynek tulajdonságai voltak , annak ellenére, hogy bevett gyakorlat volt, hogy a nagyobb teljesítmény végteleneket elhanyagolták, és úgy tnt, hogy ez helyes eredményeket ad.

Ez a probléma késbb, az 1600-as években jelent meg újra, a számítás fejldésének középpontjában , ahol az olyan számítások, mint a Fermat, fontosak a származékok kiszámításához . Isaac Newton elször egy végtelenül kis mennyiségben fejlesztette ki a számítást, amelyet fluxusnak hívtak . Kifejlesztette ket egy "végtelenül kis pillanat ..." gondolatára hivatkozva. Newton azonban késbb elutasította a fluxusokat egy olyan arányelmélet mellett, amely közel áll a határ modern meghatározásához. Ezenkívül Newton tisztában volt azzal, hogy az eltn mennyiségek arányának határa önmagában nem arány, mint írta:

Ezek a végs arányok ... valójában nem a végs mennyiségek arányai, hanem korlátok ... amelyeket olyan közel tudnak megközelíteni, hogy különbségük kisebb, mint bármelyik adott mennyiség ...

Ezenkívül Newton idnként az epsilon delta definícióhoz hasonló kifejezésekkel magyarázta a határértékeket. Gottfried Wilhelm Leibniz egy saját végtelen kis méretet fejlesztett ki, és megpróbált szigorú alapokkal ellátni, de néhány matematikus és filozófus még mindig nyugtalanul fogadta.

Augustin-Louis Cauchy meghatározta a határértéket egy primitívebb fogalom szempontjából, amelyet változó mennyiségnek nevezett . Soha nem adott epsilon delta határérték-meghatározást (Grabiner 1981). Cauchy egyes bizonyításai az epsilon delta módszerre utalnak. Akár megalapozó megközelítése Weierstrass elhírnökének tekinthet, akár nem, tudományos vita tárgyát képezi. Grabiner úgy érzi, hogy van, míg Schubring (2005) nem ért egyet. Nakane arra a következtetésre jut, hogy Cauchy és Weierstrass ugyanazt a nevet adták a határ különböz fogalmainak.

Végül Weierstrass és Bolzano nevéhez fzdik, hogy szigorú alapot nyújtanak a számításhoz, a határ modern meghatározása formájában . Ezután megszüntették a végtelen kicsire való hivatkozás szükségességét , és Fermat számítása a következ határ kiszámításává vált:

Ez nem jelenti azt, hogy a korlátozó meghatározása volt mentes a problémáktól, mint, bár megszüntette annak szükségességét, végtelen kis, azt kívánta az építiparban a valós számok szerint Richard Dedekind . Ez nem jelenti azt sem, hogy a végtelen kisembereknek nincs helyük a modern matematikában, mivel a késbbi matematikusok a hiperreal szám vagy szürreális számrendszer részeként szigorúan infinitezimális mennyiségeket tudtak létrehozni . Ezenkívül szigorúan kidolgozható a számítás ezekkel a mennyiségekkel, és más matematikai felhasználásuk is van.

Informális nyilatkozat

Életképes informális (azaz intuitív vagy ideiglenes) definíció az, hogy az " f függvény megközelíti az L határt egy (szimbolikusan ) közelében , ha f ( x ) tetszlegesen közel állítható L-hez azzal, hogy megköveteli, hogy x kellen közel legyen az de egyenltlen a . "

Ha azt mondjuk, hogy két dolog közel van (például f ( x ) és L vagy x és a ), az azt jelenti, hogy kicsi a különbség (vagy távolság ) közöttük. Amikor f ( x ) , L , X , és egy olyan valós számok , a különbség / közötti távolság két szám a abszolút értéke a különbség a két. Így az f ( x ) közelsége L-hez azt jelenti, hogy | f ( x ) - L | kicsi. Mondván, hogy x és egy közeli jelenti, hogy | x - a | kicsi.

Ha azt mondjuk, hogy f ( x ) tetszlegesen közelíthet L-hez , az azt jelenti, hogy az összes nem nulla távolság esetén az f ( x ) és L távolságot kisebbé tehetjük, mint .

Mondván, hogy f ( x ) lehet tetszlegesen közel van az L annak megkövetelésével, hogy x kellen megközelíti, de, nem egyenl, egy , azt jelenti, hogy minden nem nulla távolság , van néhány nem-nulla távolság olyan, hogy ha a az x és a távolság kisebb, mint , akkor az f ( x ) és L távolság kisebb, mint .

Az itt megragadandó informális / intuitív szempont az, hogy a definícióhoz a következ bels beszélgetésre van szükség (amelyet általában az a nyelv fogalmaz meg, hogy "ellenséged / ellenfeled megtámad egy -val , és te véded / véded magad egy -vel "): Az egyiket bármely > 0 kihívással látjuk el adott f , a és L esetén . Olyan > 0- val kell válaszolni , hogy 0 <| x - a | < azt jelenti, hogy | f ( x ) - L | < . Ha bármilyen kihívásra választ tud adni, akkor bebizonyosodott, hogy létezik a határ.

Pontos állítás és a kapcsolódó állítások

Pontos állítás a valós érték függvényekhez

A függvény határának meghatározása a következ:

Legyen egy valós érték függvény, amelyet a valós számok részhalmazán határozunk meg . Hagy egy határpont az , és hagyja, hogy egy valós szám. Azután

ha mindegyikre létezik olyan , hogy mindenki számára , ha , akkor .

Jelképesen:

Ha vagy , akkor a határpontot jelent feltétel helyettesíthet azzal az egyszerbb feltétellel, hogy c D-hez tartozik , mivel a zárt valós intervallumok és a teljes valós vonal tökéletes halmaz .

Pontos utasítás a metrikus terek közötti függvényekre

A definíció általánosítható azokra a függvényekre, amelyek a metrikus terek között térképeznek fel . Ezek a terek egy metrikának nevezett függvénnyel rendelkeznek, amely két pontot vesz fel a térben, és valós számot ad vissza, amely a két pont közötti távolságot képviseli. Az általános meghatározás a következ:

Tegyük fel, hogy van definiálva egy részhalmaza egy metrikus tér egy metrikus és térképeket egy metrikus tér egy metrikus . Legyen határértéke és legyen pontja . Azután

ha mindegyikre létezik olyan , hogy mindenki számára , ha , akkor .

Mivel ez a valós számok mutatója, megmutathatjuk, hogy ez a meghatározás általánosítja a valós függvények els definícióját.

A pontos állítás tagadása

A definíció logikai tagadása a következ:

Tegyük fel, hogy van definiálva egy részhalmaza egy metrikus tér egy metrikus és térképeket egy metrikus tér egy metrikus . Legyen határértéke és legyen pontja . Azután

ha létezik olyan , hogy mindenki számára létezik olyan , hogy és . Akkor nem létezik, ha az összes , .

A valós számokon definiált valós érték függvény tagadásához egyszeren állítsa be .

Pontos állítás a végtelen határértékeire

A végtelen határértékek pontos megállapítása a következ:

Tegyük fel , hogy valós érték, amelyet a valós számok olyan részhalmazán határozunk meg , amely önkényesen nagy értékeket tartalmaz. Azután

ha mindegyikre van egy valós szám , amely mindenki számára , ha akkor .

Meghatározás adható általános metrikus terekben is.

Egyoldalú korlátok

A szabványos meghatározás nem teszi lehetvé a határok definiálását a folytonossági pontokon. Ehhez az egyoldalú korlátok hasznosak. A "jobbról" határértéket formálisan a következ határozza meg:

és a határ "balról" mint

Dolgozott példák

1. példa

Ezt be fogják mutatni

.

Adott , szükség van egy olyanra, ami azt jelenti .

Mivel sine határolt fent 1 és alul -1,

Így veszik, majd implikálják , ami kiegészíti a bizonyítást.

2. példa

Az állítás

bármely valós számra bebizonyosodik .

Adva van . A- t találunk olyanra, ami azt jelenti .

Faktorolással kezdve

a kifejezést korlátozza, így feltételezhet egy 1-es kötés, és késbb valami ennél kisebb is kiválasztható .

Tehát feltételezik . Mivel tart általában a valós számok és ,

Így

Így a háromszög egyenltlenségén keresztül ,

Így, ha tovább feltételezik, hogy

azután

Összefoglalva: be van állítva.

Tehát, ha , akkor

Így egy olyan található, amely magában foglalja . Így bebizonyosodik, hogy

bármely valós számra .

3. példa

Az állítás

bebizonyosodik.

Ez a határ grafikus megértésével könnyen megmutatható, és mint ilyen ers alapként szolgál a bizonyítás bevezetéséhez. Szerint a hivatalos fenti meghatározás határa állítás igaz akkor, ha korlátozta a egységei óhatatlanul Confine az egység . Ebben a konkrét esetben ez azt jelenti, hogy az állítás igaz akkor, ha korlátozta a egységei 5 óhatatlanul Confine

az egység 12. Az általános kulcsa mutatja ezt következmény az, hogy bemutatja, hogyan és kapcsolódniuk kell egymáshoz, hogy a hatása tart. Matematikailag ezt be fogják mutatni

Az implikáció jobb oldalán a 3 egyszersítése, faktorálása és felosztása meghozza az eredményt

amely azonnal megadja a kívánt eredményt, ha

választják.

Így a bizonyítás elkészült. A bizonyítás kulcsa abban rejlik, hogy valaki képes határokat választani , majd megkötni a megfelel határokat , amelyek ebben az esetben 3- szoros összefüggésben voltak, ami teljes egészében a vonal 3 meredekségének tudható be.

Folytonosság

Egy függvény f azt mondják, hogy a folyamatos a c , ha azt mindkét definiált c , és annak értéke a c egyenl a határérték F , mint x közelít c :

A folytonos függvény definíciója a határ definiálásából nyerhet, helyettesítve azzal , hogy az f értéke c-ben legyen és egyenl a határértékkel.

Az f függvényrl azt mondjuk, hogy folytonos egy I intervallumon , ha folytonos az I c minden pontján .

Összehasonlítás a végtelen kis definícióval

Keisler bebizonyította, hogy a határ hiperrealális meghatározása két kvantorral csökkenti a logikai kvantor komplexitását. Nevezetesen, konvergál egy L határig, mivel hajlamos egy és csak akkor, ha az érték végtelenül közel van L- hez minden végtelenül kicsi e-hez . (Lásd: Mikrofolytonosság a folytonosság kapcsolódó meghatározásához, lényegében Cauchy miatt .)

A Robinson megközelítésén alapuló, végtelenül kis számítási tankönyvek a folytonosság, a derivált és az integrál definícióit nyújtják a standard pontokon a végtelen szimbólumok szempontjából. Amint a folytonossághoz hasonló fogalmakat alaposan elmagyarázták a mikrokontinuitás alkalmazásával, az epsilon delta megközelítést is bemutatjuk. Karel Hrbáek szerint a folytonosság, a derivált és az integráció definícióit a Robinson-féle nem szabványos elemzésben az - módszerrel kell megalapozni, hogy a bemenet nem szabványos értékeire is kiterjedjenek. Baszczyk et al. azt állítják, hogy microcontinuity hasznos egy átlátható meghatározása egyenletes folytonossága, és jellemezze a kritika által Hrbáek, mint a kétes sirató. Hrbáek egy alternatív, nem szabványos elemzést javasol, amely (Robinson-féle esetektl eltéren) sok "végtelenségi" szinttel rendelkezik, így a határok egy szinten meghatározhatók a következ szint végtelenjeivel.

A formális határdefiníciók családja

A határnak nincs egyetlen meghatározása - a definíciók egész családja létezik. Ennek oka a végtelen jelenléte, valamint a határok fogalma "jobbról" és "balról". Maga a határ lehet véges érték , vagy . Az által megközelített érték lehet véges érték is, vagy , és ha véges érték, akkor balról vagy jobbról is megközelíthet. Általában minden kombináció megkapja a saját definícióját, így:

Jelölés Def. Példa

Lásd még

Hivatkozások

További irodalom


Opiniones de nuestros usuarios

Arpad Keresztes

Nem tudom, hogyan jutottam el ehhez a ( , ) szóló cikkhez, de nagyon tetszett.

Daniel Csányi

A ( , ) szóló információ nagyon érdekes és megbízható, mint a többi cikk, amit eddig olvastam, ami már sok, mert már majdnem egy órája várok a Tinder-randimra, és nem jön, szóval szerintem felültetett. Megragadom az alkalmat, hogy hagyjak néhány csillagot a társaságnak és szarok a kibaszott életemre

Szabolcs Szép

Meglepett ez a cikk a ( , ), érdekesnek találom, hogy milyen jól kimértek a szavak, olyan... elegáns., Végre egy cikk a ( , )

Cecilia Kálmán

Végre egy cikk a ( , ), ami könnyen olvasható., Köszönöm ezt a bejegyzést a ( , )